【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day1 数据结构

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day1 数据结构

https://www.becoder.com.cn/contest/5429

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「CF1428F」Fruit Sequences

线段树是可以维护区间最长子段的 1。

记固定右端点在 $i$，的答案为 $f_i$。那么：

1. $a_i=0$，$f_i=f_{i-1}$；
2. $a_i=1$，打一个单调栈维护所有的最长子段，然后来更新 $f_i$。

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p.s. 代码里面的定义有些不一样。

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「2021牛客暑期多校训练营2 - G」League of Legends

有一道几乎一样的题 NOIP模拟赛1 T3 色；题解

不一样的是这道题不允许有空集，也就是说一开始存在空集的情况就排除掉了。

然后在 dp 的时候，不能直接前缀和，还需要一个单调队列，来判一下合不合法。

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p.s. 很好，下面是自己的思路，可以发现几乎全部错了 QAQ，所以就别看了。（唯一值得高兴的是看了之前的题解之后，一次性改对了

问题主要如下：

1. 一开始的结论就假了，没有考虑完全包含的情况。以后还是需要再多想一下；
2. $calc(i,j)$ 因为必须有交集，实际上就等于 $r_i-l_j$，而没有想到这个这个的话断送了后面优化的路。

下面是原文：

有难度。👍

先思考一些性质。

首先，对所有区间排序。

然后，可以发现划分出来的 $k$ 个组每个组都一定是连续的（可以反证），这样就很好 dp 了。

定义 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个中分为 $j$ 组的最优解，$calc(i,j)$ 是第 $i$ 个区间到第 $j$ 个区间交的长度。有转移：

$$f_{i,j}=\underset{k=1}{\overset{i}{max}}\{\{f_{k-1,j}+calc(k,i)\},f_{i-1,j-1}+r_i-l_i+1\}$$

然后发现对于相同的 $i$，$calc(i,j)$ 随着 $j$ 的增大而减小，而且越靠前的 $i$ 减小的越快。

所以我们可以维护一个 “类单调队列”。

末端加入元素的时候，需要保证比前面的优。

然后队首删除那些

所以有决策单调性，预处理出 $calc$，然后就可以 $O(n^2)$ 做了。

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「ARC067F」Yakiniku Restaurants

首先走回头路肯定是更劣的，所以最终答案一定是走的一个区间。

$a$ 求前缀。

考虑一个区间 $[l,r]$ 的答案应该是：

$$An{s}_{l,r}=\sum _{i=1}^m\underset{j=l}{\overset{r}{max}}{B}_{i,j}-(a_r-a_l)$$

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想一想用 ST 表可以做到 $O(n^{2}m)$，但是还是过不了。

$m$ 很难搞掉，所以考虑搞掉一个 $n$。

自然想到 two-points。

正确性？

对于一个右端点 $r$，设她的最优左端点为 $l$，记作 $[l,r]$。对于 $[l,r+1]$，设左端点变为 $l-1$ 之后，$B$ 求和的增量为 $\mathrm{\Delta }$，那么对于 $[l,r]$，该值一定是 $\le \mathrm{\Delta }$ 的，而要减去的 $l-1,l$ 之间的距离是不变的。也就是说左端点左移的贡献在减少！故而左端点一定不会左移。

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好吧，事实证明，正确性的问题有点大😥

two-points 是错的，因为左端点向右移动的时候，可能先是不优的，然后再是最优，所以就 G 了。

https://www.becoder.com.cn/submission/2566864

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https://www.luogu.com.cn/article/9rwufdjc

事实上，还是得搞掉一个 $m$。我们不妨把 $B$ 对每个区间的贡献提前加上。

先预处理当前 $B_{i,j}$ 作为最大值的极长子段。设为 $[L,R]$。

然后对于左端点在 $[L,i]$，右端点在 $[i,R]$ 的区间，一定是 $B_{i,j}$ 做贡献。用二维差分实现二维矩阵加法。

然后再 $O(n^2)$ 枚举左右端点就行了。总时间复杂度 $O(nm+n^2)$。

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做完上面两道题，感觉小脑萎缩了😭

每次想的都是错的，而且感觉有点过度深挖性质了。

实际上直接面对这个式子，直接处理可能就行了。

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「ARC072F」Dam

dp 的话，$O(n{t}^2)$，难以优化。

考虑到，最后的形式一定是：

$${\displaystyle \frac{\sum v_i{t}_i}{L}}$$

所以就是要最大化分子。

题解（可以稍微看一下 $f$ 的定义，然后我自己按照自己感觉更自然的思路来理解了一下。

我们考虑把整个过程抽象成函数上。以此来挖掘一些性质。

具体在这道题上，就是题解中所定义的 $f$。

将每一天的操作分为如下两步：

1. 加水： 先不考虑容量限制。整个函数就相当于在最开始加一条线段 $(0,0)-(v_i,v_i{t}_i)$，然后再在另一个端点接上原来的函数。

   因为每次我们都是加入了一个单增的东西，而后面的东西增减性不变，所以整体就一定是单增的。

2. 倒水： 对于任意容量为 $x$ 的状态开始倒水，其实就是从这个点向原点连一条线段，表示上面的点都可以得到。

   又因为要取 $max$，并且函数单增，所以整个函数应该上凸的。

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然后就要用单调队列维护这个上凸包。

首先第一步要求我们整体平移，所以我们直接维护每一个拐点和前一个的差值。

第二步要求我们找到斜率最大的一个拐点，然后用这条线段替换掉前面的所有线段。

线段维护单调栈板子