【笔记】线段维护单调栈

【笔记】线段维护单调栈

维护单调栈的信息可以包括：

1. 单调栈的大小；
2. 单调栈里面元素的权值（可以和键值不一样）的极值/和。

---

1 核心思想

（以维护严格单增的单调栈为例，单减同理。

首先线段树内会维护区间最大值 $mx$，和区间的答案 $ans$。

定义一个函数：$calc(p,x)$ 表示在线段树的 $p$ 节点，删去区间内小于等于 $x$ 的元素，剩下构成的答案。

那么 $ans(p)=ans(ls)+calc(rs,mx(ls))$。（这个 $+$ 是合并的意思，不是真正意义上的加法。

考虑怎么算 $calc(p,x)$。

分讨一下：

1. 区间长度为 $1$：略；

2. 如果 $mx(ls)<x$：$calc(p,x)=calc(rs,x)$；

3. 如果 $mx(ls)\ge x$：$calc(p,x)=calc(ls,x)+calc(rs,mx(ls))$

   这样乍看上去好像并没有什么用，还是 $O(n)$ 的，但实际上变化就在于后面是 $calc(rs,mx(ls))$，而不是 $calc(rs,x)$。

   相对于 $x$，$mx(ls)$ 可以视为定值，因为我们每次更新 $mx$ 的时候，就可以同步算出新的 $calc(rs,mx(ls))$，然后储存到一个变量里面。

这样的话，我们就保证了 $calc(p,x)$，可以在 $O(\log n)$ 的时间复杂度内求解。

而每次 push_up 的时候都要调用一遍，所以总的时间复杂度就是 $O(n{\log }^{2}n)$。

---

2 例题

2.1 楼房重建

因为固定了在 $(0,0)$ 看，所以不完全是板子，比如 $(1,2)(2,3)$ 答案就应该是 $1$ 而不是 $2$。

其实仔细想一下，我们并不是要求房子的高度单增，而是房子的斜率单增，然后就是板子了。

维护单调栈长度的板子。

---

2.2 「JOISC 2014 Day3」稻草人

注意一件事情，理论上，我们从前往后/从后往前做、单增/单减都是可以任意选取的。

但是如果 calc 算的是小于等于某个值构成的单调栈的话，就不能同时求出大于等于某个值的单调栈（？

为了规避掉这个问题，我们直接按照 $y$ 从小到大加入，维护从右往左做单增的单调栈，每次查询前缀。

---