https://www.luogu.com.cn/problem/P4682
第一道需要脑子的计算几何
首先我们可以对于没有每一个粒子求出她的运动轨迹。
设初始坐标为 \((x_0,y_0)\)，方向向量为 \(\vec v\)，本次碰撞时间为 \(t\)，则有：
\[\begin{aligned}
&(x_0+x_vt)^2+(y_0+y_vt)^2=R^2\\
\Rightarrow~&(x_v^2+y_v^2)t^2+2(x_0x_v+y_0y_v)t+x_0^2+y_0^2-R^2=0\\
\Rightarrow~&t=\dfrac{-2(x_0x_v+y_0y_v)\pm\sqrt{4(x_0x_v+y_0y_v)^2-4(x_v^2+y_v^2)(x_0^2+y_0^2-R^2)}}{2(x_v^2+y_v^2)}\\
\Rightarrow~&t=\dfrac{-2(x_0x_v+y_0y_v)+2\sqrt{-(x_vy_0-y_vx_0)^2+x_v^2R^2+y_v^2R^2}}{2(x_v^2+y_v^2)}
\end{aligned}
\]
所以 \(\vec {OD}=(x_0+x_vt,y_0+y_vt)\)
（为什么题解都是用角算的 \(\vec v^\prime\) 啊，感觉精度难崩，而且每次还会求出两个解，需要再代入验证，真是不优雅（自己试一下用对称来理解。
算了，还是用角度方便一点 😰
设 \(\alpha\) 是 \(\vec v\) 到 \(\vec {OD}\) 的旋转角，则 \(\vec v^\prime\) 为 \(\vec v\) 顺时针旋转 \(\pi-2\alpha\)，即逆时针旋转 \(\pi+2\alpha\) 得到的。
\[\vec v^\prime=(x_v\cos \alpha-y_v\sin\alpha,x_v\sin\alpha+y_v\cos\alpha)
\]
然后用叉积算 \(\alpha\)，因为她可以反映方向，而点积只能反映锐角/钝角。
\[\alpha=\text{asin}\left(\dfrac{\vec v\times \vec {OD}}{|\vec v||\vec {OD}|}\right)
\]
接着，我们枚举点对，但是我们发现还有时间相同的限制，根据每次碰撞的时间将整个过程分成之多 \(2k\) 个段，但是很难直接看出来最近点是在那个时刻点取得。（然后开始借鉴
设当前我们枚举到的点对为 \((i,j)\)，开始时坐标向量分别为 \(\vec P_i,\vec P_j\)，速度向量分别为 \(\vec v_i,\vec v_j\)，经过了 \(t\) 的时间。
这里推坐标的式子的时候，可以先用向量，化到最简后再代入坐标形式。
两点间的距离即为向量差的模长。
考虑用函数表达出来：
\[\begin{aligned}
dis(i,j)&=dis(\vec P_i+\vec v_it,\vec P_j+\vec v_jt)\\
&=|\vec P_i-\vec P_j+(\vec v_i-\vec v_j)t|\\
\end{aligned}
\]
显然，\(P_i-P_j,v_i-v_j\) 都是很好求的。这样就简化运算了。接着设 \(\vec p=\vec P_i-\vec P_j,~\vec v=\vec v_i-\vec v_j\)
于是：
\[\begin{aligned}
dis(i,j)&=\sqrt{(x_p+x_vt)^2+(y_p+y_vt)^2}\\
&=\sqrt{(x_v^2+y_v^2)t^2+2(x_px_v+y_vy_p)t+x_p^2+y_p^2}\\
\end{aligned}
\]
然后我们惊奇的发现这是一个一元二次函数。（其实也不惊奇，其实感觉出来她是一个单峰函数（本来想三分的，但是没有严格证明
于是我们取 \(t=-\dfrac{x_px_v+y_vy_p}{x_v^2+y_v^2}\)。
\[\begin{aligned}
dis(i,j)_\min&=\sqrt{\dfrac{(x_px_v+y_vy_p)^2}{x_v^2+y_v^2}-2\dfrac{(x_px_v+y_vy_p)^2}{x_v^2+y_v^2}+x_p^2+y_p^2}\\
&=\sqrt{\dfrac{-2x_px_vy_vy_p+x_v^2y_p^2+y_v^2x_p^2}{x_v^2+y_v^2}}\\
&=\dfrac{x_vy_p-y_vx_p}{\sqrt{x_v^2+y_v^2}}\\
&=\dfrac {\vec v\times \vec p}{|\vec v|}
\end{aligned}
\]
wait!
我们还需要考虑这个 \(t\) 能不能取到。
（实际上也没必要退这么久的式子，除了减少一点常数一无是处
Record
注意答案跟 0 取 max
