【笔记】辛普森算法

核心思想是将被积区间分为若干小段，每段套用二次函数的积分公式进行计算。

具体而言，对于一个二次函数 \(f(x)\)，有：

\[\int_{l}^{r} f(x) \mathrm{d} x=\frac{(r-l)\left(f(l)+f(r)+4 f\left(\frac{l+r}{2}\right)\right)}{6} \]

1 普通辛普森

直接分成若干段来计算。

2 自适应辛普森

对于 \(f(x)\) 的一个区间，可能她本身就和二次函数长的很像，我们也没必要再细分她。

具体而言，对于一个区间，如果分成左右两半分别计算，和直接计算整个区间的答案是差不多的，那就不在分下去。

double f (double x) {
	
}
double simpson (double l, double r) {
	return (r-l) * (f(l) + 4*f((l+r)/2) + f(r)) / 6;
}
double calc (double l, double r, double eps, double ans, int step) {
	double mid = (l + r) / 2;
	double fl = simpson(l, mid), fr = simpson(mid, r);
	if (abs(fl + fr - ans) <= 15 * eps && step < 0)
		return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15;
	return calc(l, mid, eps / 2, fl, step - 1) + calc(mid, r, eps / 2, fr, step - 1);
}
calc(l, r, eps, simpson(l, r), 12);