【笔记】博弈论

【笔记】博弈论

0 基本概念 & 性质

0.1 博弈论

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1 SG 函数

ps. 通过 SG 函数来理解三个基本模型，也是不错的选择。

1.2 定义

$\text{SG}(x)=\text{mex}\{\text{SG}(y_i)\}$（其中 $y_i$ 为 $x$ 的后继状态）

1.3 SG 定理

由 $n$ 个博弈图组成的游戏，设起点（即每个连通分量内入读为 0 的点）分别为 $s_1,s_2,\dots ,s_n$。

当 $\text{SG}(s_1)\oplus \text{SG}(s_2)\oplus \cdots \oplus \text{SG}(s_n)\ne 0$ 时，先手必胜；反之，先手必败。

1.3.1 证明

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1.4 和有向图游戏的关系

如果一个有向图有多个起点，那就需要用 SG 定理了。

但是如果只有一个起点，我们关心的只有这一个起点的 SG 之是否 $=0$，所以在求 SG 值的时候，也就可以只用求 SG 是 $0$ 还是 $1$。

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2 三个基本模型

2.2 布什博弈

2.2.1 概述

2.2.2 结论

若 $m+1\nmid n$，先手必胜；反之，先手必败。

2.2.3 证明

构建决策树

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3 例题

3.0 Links

博弈论1

博弈论2

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3.1 取石子

Key：

本质上是求 SG 值，但是由于最终不许要用 SG 定理，于是 SG 值可以就为 0/1 表示是否先手必胜

令 $sum=\sum a_i$

先单独考虑操作 1：若 sum 为奇，必胜；为偶，必败。

可以发现操作 2 其实相当于某人跳过了一次操作，而不改变。

性质 1： 操作 2 就是用来浪费时间的，所以如果可以做就尽量做 。

后继状态：（当前为 $(x,y)$ 表示：全是 1 的堆数 | 其余最多操作次数 = 大于 1 的堆的总和 + 堆数 - 1，特别地，空集 = 0）

1. 取走 1 个

   1. 取 x：$(x-1,y)$

   2. 取 y：$(x,y-1)$

      ps. y 中不到最后只剩一堆的时候，不会出现堆的个数变为 1 的（性质 1），所以可以直接减。

2. 合并

   1. 合两个 x：$(x-2,y+2+[y\ne 0])$

      ps. 特判 y 原先为空集。

   2. 合两个 y：$(x,y-1)$

   3. 合一个 x 和 一个 y：$(x-1,y+1)$

注意判断，从 y 转为 x 的情况。

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3.2 Love this Game!（加强版）

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3.3 小约翰的游戏

反 Nim 问题。

讨论：

1. 全为 1：n 为偶，必胜；为奇，必败。

2. 有一个不为 1：必胜。（本质上可以归类为 3）

   先手一定可以通过一次操作，将状态转化为偶数个 1。

3. 有多个不为 1：转化为了普通 Nim 问题

   先手想要把情况变为 2，即要把不为 1 的堆拿成只剩一堆，然后让自己处理，于是就转化为了普通 Nim 问题。

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4 二分图博弈

4.0 Links

https://zhuanlan.zhihu.com/p/359334008

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4.1 概述

给定一个二分图，并在起点 $S$ 上有一颗棋子，每人每轮可以将这颗棋子推一步，且不能走已走过的点，谁先不能动则输。

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4.2 结论

如果对于所有的最大匹配都必须包含 $S$，那么先手必胜；反之，后手必胜。

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4.3 证明

直接看 Pecco 的知乎专栏文章 吧。

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5 Green Hackenbush

我的理解是：带限制的 Nim 游戏。

5.1 概述

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5.2 Principles

5.2.1 Colon Principle

对于一个节点 $x$，如果其每个子儿子的子树都是一条链，$x$ 的 SG 值为子儿子大小的异或和 $S$。

同时，这也等价于把 $x$ 的整个子树换成长度为 $S$ 的一条链（包括 $x$（由一开始 Bamboo Stalks 容易知道。

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5.2.2 The Fusion Principle

任何两个环内节点都可以缩成一个点而不影响图的 SG 值。

推论： 任意一个奇环都可以缩成一条边，任意一个偶环都可以缩成一个点。

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https://www.cnblogs.com/linyihdfj/p/17447123.html（需要 Ctrl+F 一下。

https://blog.csdn.net/qq_39239844/article/details/81196738（Colon Principle 证明

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Trick

1. 有种奇怪的感觉：最后只剩 1 的时候都比较关键。