【笔记】Tricks 汇总
2023.10
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对于一棵树上的一条链 \(u\rightarrow v\)，求解一个点 \(x\) 满足它既是 \(u\) 的儿子，又在链上，它即是 \(v\) 的第 \(dep[v]-dep[u]-1\) 级祖先（可以用倍增 \(\log\) 求解
（当然树剖也可以。
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书上背包问题时间复杂度实际上是 \(O(n^2)\)【[JSOI2016] 最佳团体】
【?】因为每次合并一棵子树时付出的代价是 已经合并的兄弟子树的大小之和 \(\times\) 正在合并的这棵子树的大小，实质上是树上每对节点在 LCA 处贡献时间复杂度 ... 所以是 \(n^2\) 的。 -
关于
unordered_maporunordered_set的运算符重载：（双哈希封装常用
点击查看代码
struct Hash {
ull x, y;
bool operator == (const Hash& xx) const { return x == xx.x && y == xx.y; }
} P[MAXN], hs[MAXN], ht[MAXN];
struct _Hash {
size_t operator () (const Hash& a) const {
return hash<ull>()(a.x) * hash<ull>()(a.y); // 这里 * 法可以任意改，求得到是最终 Hash 的值
}
};
// 定义：
unordered_set<Hash, _Hash> se;
unordered_map<Hash, bool, _Hash> mp;
2023.12
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单点修改，查询树链的和：树上差分
单点修改 -> 子树修改：add(dfn[x]+siz[x], -val), add(dfn[x], val);
树链的和 -> 差分：ask(dfn[u]) + ask(dfn[v]) - ask(dfn[lca(u,v)]) - ask(dfn[fa[lca(u,v)]])
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树链修改，单点查询：树上差分
单点修改 -> 差分：add(dfn[u], val), add(dfn[v], val), add(dfn[lca(u, v)], -val), add(dfn[fa[lca(u, v)]], -val);
树链的和 -> 子树修改：ask(dfn[x]+siz[x]-1) - ask(dfn[x]-1);
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对于互相独立的询问，可以对它排序，然后考虑每增加一个询问的变化，求解。很经典的例子：【[USACO18FEB] Snow Boots G】
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对平均数/中位数的处理：二分 mid，\(\le\) mid 为 -1，反之为 1。【[ABC107D] Median of Medians】
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或者，令 \(P=\sum\limits_{i\in S}p[i]\)
\[E(\min\{S\})=\sum_{i=1}^{\infty}(1-P)^{i-1}P\times i=\frac{1}{P} \] -
看到分式可以考虑根号算法。【Wonderful Jump】
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对于数对的数位 DP 可以考虑容斥，即
ans = solve(r,r) - solve(l-1,r) - solve(r,l-1) + solve(l-1,l-1)【Daniel and Spring Cleaning】 -
原来以 \(1\) 为根，换为 \(x\) 为根。则 \(\text{lca}(a,b)\) 变为 \(\text{lca}(a,b)\)，\(\text{lca}(a,rt)\)，\(\text{lca}(rt,b)\) 三者中深度最大的点。
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如果带判断无解的题，可以先把无解的判完，剩下直接贪最优【Making Anti-Palindromes】
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概率 DP，如果规模比较大，而且求的是小数，越到后面 dp 的更改值只会更小，所以可以直接跑一个较小的规模【Game with Probability Problem】
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对于有限制的状压 DP，如果一个状态是否存在是不确定的，可以考虑反向定义状态并转移。【[SCOI2008] 奖励关】
2024.1
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找必要条件，然后可以尝试她是否有充分性【月圆】
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行列比配问题可以抽象成二分图。【月圆】
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\({i\choose j}\bmod 2=1\) 当且仅当 \(i \operatorname{and} j=j\)。
由 卢卡斯定理：\[X=\binom{n}{m}\bmod 2 = \binom{\left\lfloor n/2 \right\rfloor}{\left\lfloor m/2\right\rfloor}\times\binom{n\bmod 2}{m\bmod 2}\bmod 2 \]发现这其实是对 \(i,j\) 二进制分解。
而 \(X=0\) 当且仅当 \(\binom{n\bmod 2}{m\bmod 2}\) 中存在 \(0\)，即 \(i=0,j=0\) 时。
【Lost Array】 -
莫队指针移动，一定是先扩大再缩小。
求区间数出现的个数的mex，暴力求的时间复杂度为 \(O(\sqrt n)\)【Machine Learning】
2024.2
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gcd 与 加法 = 更相减损。【[ABC254F] Rectangle GCD】
区间 gcd 结论：\[\gcd(a[l],...,a[r]) = \gcd(a[l], a[l+1]-a[l], ... , a[r]-a[r-1]) \] -
ST 表求 lca
求出 dfn，\(\text{lca}(u,v)\) 为从dfn[u]到dfn[v]深度最小的点。
2024.4
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树上的权值线段树合并总时间复杂度是 \(O(n\log n)\)。
一共只会有 \(n\) 个点被合并，并且合并时一般不会重复地合并某个线段树，所以我们最终增加的点数大致是 \(n\log n\) 级别的。
常用于 SAM 中维护 endpos。【[HEOI2016/TJOI2016] 字符串】
2024.10
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dp 状态如果是算所有情况的权值和 \(f\)，不妨考虑一个辅助 dp：\(g(i)\) 表示权值大于等于 \(i\) 的方案数。
那么一定有 \(f=\sum_{i=0}^{V}g(i)\)，其中 \(V\) 是值域。
这样可以转化为单纯的方案数计数的问题，可能会更好做一些。【BZOJ4770 图样(长者)】
2024.11
- 判断性的问题通常会需要一个量化的依据。一个好的依据，可能具有单调性，通过一个值来判断一类询问，然后再离线做。【「CF1997E」Level Up】
- 记录一个很典的 next_permutation 类问题（之前好像也有但是记不太到了）「NOIP2024模拟赛32 T3」Soso 的排列
