【笔记】数学常用结论
1 关于取模
1.1 指数取模 —— 扩展欧拉定理
扩展欧拉定理
\[a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1&(1)\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b<\varphi(p)&(2)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\ge\varphi(p)&(3) \end{cases} \pmod p\]
特别地，如果 \(p\) 为质数，则一定有等式 \((1)\) 成立，且 \(\varphi(p)=p-1\)，所以有：
（可以用于指数取模（注意这里的指数取模的是 \((p-1)\)
\[a^b\equiv a^{b\bmod(p-1)}\pmod p
\]
组合数
-
\[\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \times k^{\underline{m}}=\left(\begin{array}{l} n-m \\ k-m \end{array}\right) \times n^{\underline{m}} \]
-
初始给定第一个数为 \(1\) 其余为 \(0\) 的长度为 \(n\) 的数列，求 \(m\) 次前缀和后的第 \(k\) 项为 \(\displaystyle{k\choose m}\)。
2 杂项
2.1 调和级数
\[\large\sum\limits_{i=1}^{n}\left\lfloor\frac ni\right\rfloor \approx n\ln n \]
Trick： 常用于简化时间复杂度中。
2.2 二项式定理
\[(a+b)^n=\large\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}a^ib^{n-i} \]
Trick： 通常逆应用，将 \(O(n)\) 降至 \(O(1)\)。eg. 加法方案
\[\left(\large\sum\limits_{i=1}^ka_i\right)^2=\large\sum\limits_{i=1}^k a_i^2+\large\sum\limits_{i=1}^k\large\sum\limits_{j=1}^k[i\neq j]\cdot2a_ia_j \]
可用于在求
2.3 数论
\[n=\sum_{d\mid n}\varphi(d) \]
2.4 真正的杂项
\[\sum_{i=1}^n i^{\alpha}\approx O(n^{\alpha+1}) \]
