【题解】Network

「CEOI2012」Network

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Solution to Question Ⅰ

首先缩点（当然也可以不缩？），然后跑一遍 DFS 即可。

//w为联通分量里的节点个数
inline void dfs (const int &u) {
	ans1[u] = w[u];
	for (int v : G_scc[u])
		dfs(v), ans1[u] += ans1[v];
}

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Solution to Question Ⅱ

观察缩完点后的图一定是保证无环的，又由于题目有个非常特殊的条件：图中有一个中心点 $r$，对于其它所有点，有且仅有一条路径可达。于是，缩完点后的图一定是一棵以 $r$ 为根节点的 树。

对于节点 $u$，它的子树中的节点想要到达其它子树，就必须往上爬，于是有了一个贪心的思路：「每一次连边都需要尽量往上连」。

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注意这里的到达是指有且仅有一条路径，考虑下图情况：如果我们想从 $C$ 往 $A$ 甚至更上面连边，此时由于 $A,B$ 在同一个联通分量中，$B$ 原来是可以达到 $A$ 的，再连上这条边之后，$B$ 就有 $2$ 条路径可以到达 $A$（$A,B,C$ 又形成了一个新的环），是不符合题意的。

但是对于如下图「特例」，向上连的边，仅是“擦边”经过联通分量。此时这条边是可连的。

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对于节点 $u$，它的子节点有如下两种情况：（下图均为缩完点后的图）

• 所有节点都连接到 $u$，再由 $u$ 连一条边向上。

  

• 有且 仅有一条 边直接跳过 $u$，直接向上连边，且满足「特例」（见上）。

  「仅有一条」：因为如果有第二条边向上连，则会有两个环经过同一条路径（$u$ 往上）。

  

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实现

由于缩完点是一棵树，考虑用 $edge[]$ 记录下每个节点往上的那条边起始点在原图中的编号。

建图时，加上：

edge[scc[v]] = make_pair(u, v), 

这样我们可以在 $O(1)$ 的时间复杂度，判断相邻的三个连通分量 $A,B,C$，是否只经过位于中间的连通分量 $B$ 中的一个点。

edge[B].second == edge[C].first

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Summary

1. 这道题需要考虑很多情况；
2. 实现起来也还是有点难度。