【算法】斯坦纳树
参考资料
概念
斯坦纳树原本是在一个几何图中提出来的问题。在一个平面内给出 \(n\) 个点 \(p_i\)，可以加入一些新的点（称为斯坦纳点），要求在使得这些点连通并且边的总长度最小。
在 OI 中，斯坦纳树不再是在几何图上的问题，而是变成了图上的问题。它用于解决给出有 \(n\) 个点和 \(m\) 条边的一张图，选出 \(k\) 个关键点，要求在边集中选出一些边使得这些点连通，并且选出的边的边权之和最小。有时只选这 \(k\) 个点不一定使得代价最小，而需要选一部分非关键点。
可以将斯坦纳树理解为针对于关键点的最小生成树问题，同样，最小生成树也可以理解为斯坦纳树的普遍情况。但两者的解决方式完全不同，斯坦纳树用到的是状态压缩 dp。
实现
通过最小生成树的想法，我们不难想到最后选出的这些边构成的一定是一颗树。因此我们设 \(dp_{i,s}\) 表示以 \(i\) 为根节点的子树内包含点的状态是 \(s\)。
- 子集转移
以 \(i\) 为根节点的子树内还可以继续进行划分，然后划分后的子树包含点的状态的并集就是 \(s\)。那么枚举 \(s\) 的子集 \(t\)，\(dp_{i,s}=\min(dp_{i,t}+dp_{i,s-t})\)，\(s-t\) 在二进制含义下也可以写成 \(s\oplus t\)，表示 \(t\) 对于 \(s\) 的补集。
如何枚举子集？常见的代码是这样的：for(int t=s;t;t=(t-1)&s)，但是为什么这样是可行的？
首先 \(s\) 一定是 \(s\) 的子集，而后面进行的又是与的操作，因此保证 \(t\) 一定是 \(s\) 子集。
其次，减法和按位与都可以保证枚举出来的 \(t\) 单调递减，因此保证不重。
最后，\(t-1\) 在二进制下相当于将 \(t\) 最低位的 \(1\) 更改为 \(0\)，并且这一位右边的 \(0\) 全部更改为 \(1\)，最后和 \(s\) 与上之后一定就是最靠近 \(t\) 的另一个子集，因此可以保证不漏。
dp 状态的初始值除原本就是关键点的一开始都是正无穷，而是关键点的只有 \(s\) 中只有它这一个点的代价是 \(0\)，其余也是正无穷。最后随便找一个关键点做根即可。
- 松弛
\(dp_{i,s}\) 不仅可以由自己本身的子树划分中转移而来，还可能是由别的点进行添边操作而来的。由此得，\(dp_{i,s}=\min{dp_{j,s}+w(i,j)}\)。发现这就是一个最短路的松弛操作，用 spfa 或者 dijkstra 对于每一个 \(s\) 在子集转移后跑一遍即可。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e2+5;
const int K=2e3+5;
const int M=5e2+5;
int n,m,k;
int head[N],tot;
int dp[N][K];
int a[N];
struct node{
int nex,to,w;
}edge[M<<1];
void add(int x,int y,int z){
edge[++tot].nex=head[x];
edge[tot].to=y;
edge[tot].w=z;
head[x]=tot;
}
struct Node{
int x,v;
bool operator < (const Node &x) const{
return x.v<this->v;
}
};
bool vis[N];
void dijkstra(int s){
priority_queue<Node>q;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(dp[i][s]!=(int)1e9){
Node sta={i,dp[i][s]};
q.push(sta);
}
vis[i]=false;
}
while(!q.empty()){
int x=q.top().x;
q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=true;
for(int i=head[x];i;i=edge[i].nex){
int v=edge[i].to;
// cout<<dp[x][s]<<" "<<edge[i].w<<"\n";
if(dp[x][s]+edge[i].w<dp[v][s]){
dp[v][s]=dp[x][s]+edge[i].w;
Node nxt={v,dp[v][s]};
q.push(nxt);
}
}
}
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y,w;
cin>>x>>y>>w;
add(x,y,w);
add(y,x,w);
}
for(int s=0;s<(1<<k);++s){
for(int i=1;i<=n;++i) dp[i][s]=(int)1e9;
}
for(int i=1;i<=k;++i){
cin>>a[i];
dp[a[i]][1<<(i-1)]=0;
}
for(int s=1;s<(1<<k);++s){
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int t=s&(s-1);t;t=(t-1)&s){
dp[i][s]=min(dp[i][s],dp[i][t]+dp[i][s^t]);
}
}
dijkstra(s);
}
cout<<dp[a[1]][(1<<k)-1];
return 0;
}
例题
咕咕
