【做题笔记】CF 1400-1600 构造题

本人比较菜，所以做的 rating 很低/kk/kk/kk
欢迎各位大佬嘲讽这个蒟蒻/kk/kk/kk/kk
update in 2023.10.13 哇酷真成废物了，这个题单被 Biuld 和 Million 薄纱了。

$*$ 表示看了题解才过的（所以你会发现这里的大部分题后面都会有 $*$）
实时通过率直接贴在后面

当不看题解通过率稳定在 $50\%$ 以上就弃坑。希望早日弃坑

ABBC or BACB*

题面中给了两种操作 $AB->BC$，$BA->CB$。我们发现这两种操作的本质就是将在左边的 $B$ 换到 右边，在右边的 $B$ 换到左边，并且消掉一个 $A$。

因此一个 $B$ 能消掉一串连续的 $A$。我们考虑统计 $B$ 的个数 $x$ 和 $A$ 连续的串的个数 $y$。如果 $x>y$ 那么显然 $A$ 都能被消掉，否则就减去最小的一段 $A$ 不消。

为什么是统计 B 的个数而不是连续的 B 的段数？ 因为我们发现如果是这样的一个串 $ABBA$，这样两边的 $A$ 也能消掉，但 $B$ 的段数是小于 $A$ 的段数的。

AC: $0/1=0\%$

Two-Colored Dominoes*

一个比较显然的结论，如果一行需要涂色的地方是奇数那么一定无解。有解的情况只需要判断 $L,U$ 的颜色，直接依次按照 $WBWBWB$ 的顺序涂即可。

AC: $0/2=0\%$

Kolya and Movie Theatre

没看题解过掉了，可喜可贺，可喜可贺（完了太菜了）

题面像 dp，但并不是。我们发现只要确定了最后一次看电影是在哪一天就知道要减多少个 $d$了，再贪心的用优先队列维护最多前 $m$ 个最大的正数的和即可。

AC: $1/3=33.3\%$

Dual (Easy Version)*

找到绝对值最大的 $a[x]$，并考虑让其他数的正负性都跟它一样，这需要 $n-1$ 次操作。当都是正数或者负数的时候可以直接线性推一下，这依旧需要 $n-1$ 操作。

AC: 1/4=$25\%$

Row Major*

我们考虑隔多少位才能填一个相同的数。令这个数为 $x$，那么显然 $x$ 不能为 $n$ 的因数。又因为要求求出最少不同的字符数量，所以 $x$ 越小越好，也就是等于 $n$ 最小的非因数即可。

AC: $1/5=20\%$

No Prime Differences

如果 $m$ 为合数，那么直接从左往右，从上往下顺序填数即可，这样每两行之间差为 $m$，是合数。如果是质数的话，我们考虑每两行之间为 $kx\;(k\ne 1)$ 的差即可。就可以先填偶数行 $[2k,2k+m-1]，再填奇数行$[2k+1,2k+m]，如果 $n$ 为奇数的话中间靠一个 $[1,m]$ 连起来。

AC: $2/6=33.3\%$

Bracket Coloring*

如果整个序列的 ( 和 ) 的个数不相等，那么显然是无解的。否则看看能不能给整个序列都染一个色，不行的话答案必定是两个色。稍微证明一下：
令最后需要 $k$ 个颜色才能覆盖整个序列，那么显然所有满足条件 $1$ 的序列可以合并起来，所有满足条件 $2$ 的序列也可以合并起来，最后得出 $k=2$。
令 ( 值为 $1$，) 值为 $-1$，$sum[i]$ 表示序列值的前缀和。我们将它在函数上表示出来，会发现每当函数的正负性变化的时候，现在的颜色肯定和上一个颜色要不一样。所以求出函数与 $x$ 轴的交点即可，不难发现交点满足 $sum[i]=0,sum[i-1]=-1$ 或 $sum[i-1]=0,sum[i]=-1$。

AC: $2/7=28.5\%$

Flipper

第一位是一定不可能再在第一位了，所以新的第一位应该是除第一位外的最大的，令它的下标为 $x$，那么有两种可能

1. x 为末尾，可以把 $[1,x-1]$ 的移到后面去
2. 翻转 $[i,x-1]$ 这段区间，$x$ 作为后缀的开头成为新的开头
   对于可能一，可以判一下 $x$ 是否为末尾，并且 $a[1]>a[x-1]$ 就直接翻转 $[n,n]$ 这段区间。
   对于可能二，我们发现最后的序列是 $[x,n][x-1,i][1,i-1]$，贪心的让 $a[i]>a[1]$ 即可。也就是找到 $x$ 左边第一个小于 $a[1]$ 的数

AC: $3/8=37.5\%$

Search in Parallel

贪心的把出现次数多的放在遍历时间少的位置即可。

AC: $4/9=44.4\%$

Umka and a Long Flight*

我以为是找规律，实际上是搜索。一个显然但又不是那么显然的结论就是最后边长为 $F_n$ 和 $F_{n+1}$ 分割成的正方形边长分别是 $F_0,F_1,...,F_{n-1},F_n$。

因此，就可以从大到小判断能不能放这个正方形。

AC：$4/10=40\%$

Sum on Subarrays*

最近发现很多题都是想到一半有个想不出就不会了。

可以先二分找到最小的 $x$ 且 $\frac{x(x+1)}{2}\le k$。如果是等于的直接前面 $x$ 个是 $1$，后面的都是 $-1000$。否则可以前 $x-1$ 个都是 $32$，第 $x$ 个是 $-1-32(x-(k-\frac{x(x-1)}{2})-1)$。这是因为前 $x-1$ 个已经产生了 $\frac{x(x-1)}{2}$ 个子串，最后一个需要额外产生 $k-\frac{x(x-1)}{2}$ 个子串。所以它要与前面 $x-(k-\frac{x(x-1)}{2})-1$ 个后缀的和是负数。

AC：$4/11=36.3\%$

Sequence Master

首先，我们发现由于 $2$ 的特殊性，所以在 $n=2$ 时 $2,2.2,2$ 也是一种合法序列。

接着我们考虑 $n$ 是偶数的情况，这时候如果序列中有 $2n-1$ 个 $-1$ 和一个 $n$ 也是合法的，比较容易证明。但如果 $n$ 是奇数，序列中有 $2n-1$ 个 $-1$ 和一个 $n-2$ 是不合法的。这是由于如果 $n-2$ 放在乘法集合里面，这个集合的值是 $(-1)^{n-1}(n-2)=n-2$，而另一个集合的值应该是 $-n$，除非 $n=1$ 否则等式不成立。

最后对于所有情况，我们发现显然 $0,0,....,0$ 是一组合法的解。由于这样合法的解并不多，我们直接暴力枚举每一种可能即可。

AC：$5/12=41.6\%$

The Very Beautiful Blanket*

神秘的构造题

观察样例可以稍微猜测一下每个正方形里的值都差 $1$。设左上角的坐标为 $(i,j)$ 并且值为 $i^j$，那么这个 $2\times 2$ 的方格异或起来应该是 $i\oplus j\oplus i\oplus (j+1)\oplus (i+1)\oplus j\oplus (i+1)\oplus (j+1)=0$。现在我们只需要让每个值都尽可能不同即可，这个只需要给 $i$ 乘上 $2^9=512$。

AC：$5/13=38.4\%$

Unforgivable Curse (easy version)

首先可以判断一下s和t中的字符数量和种类是不是都相等，然后大胆假设如果 $x$ 能动，那么是不是x就可以交换到任意位置了呢？
相差 $1$ 的位置可以先交换 $3$，再交换 $2$。剩下的证明 $x$ 可以由若干个 $2,3$ 相加得来。令 $tmp=x/2$，那么可以先丢 $tmp-1$ 个 $2$，剩下要么还差 $2$，要么差 $3$，显然是可行的。所以可以得证。

因此当 $n\ge 6$ 的时候是一定有解的，因为此时无论是哪个位置都可以动。特判一下 $n\le 5$ 的情况即可。

AC：$6/14=42.8\%$

Unforgivable Curse (hard version)

写完简单版本其实这题也不难。依旧证明 $x$ 可以由若干个 $k,k+1$ 相加得来。令 $tmp=x/k$，就先放 $tmp-1$ 个 $$k，剩下的应该是 $[k,2k-1]$，也就是证明 $[1,k-1]$ 可以移动出来。

因为 $1$ 是可以移出来的，任意数都只要移出若干个 $1$ 即可。所以这个结论是成立的。因此当 $n\ge 2k$ 一定有解，剩下的特判即可。

AC：$7/15=46.6\%$

Heavy Intervals

好像中间有几题写了没贴上来？无所谓不管了

感觉很 CF 题，是很多套路的集大成题。

有个比较显然的结论，已知 $s_1<s_2,c_1<c_2$，那么 $s_1c_2+s_2c_2<s_1c_1+s_2c_2$，随便证证就出来了。所以有个贪心策略，让大的 $c$ 匹配小的 $r_i-l_i$。于是 $r_i-l_i$ 也要有尽可能小的，并且小的要尽可能多，就将 $l,r$ 从小到大排序，枚举 $l$，在 $r$ 中间二分找到第一个大于它并且没有被访问到的数。直接弄会超时，用 CF 经典套路并查集优化一下查找过程即可。

AC：$8/16=50\%$