【题解】[POI2015] MOD
挺恶心的感觉这题代码，就来写写题解。
题目分析
假设我们现在要删掉 \((x,y)\) 这条边，思考这样能贡献的最大或最小直径。
不难发现，此时一棵树分裂成了两棵树 \(a,b\)，我们令它们的直径分别为 \(la,lb\)。将两棵树内直径的任意端点连起来，发现 \(maxi=la+lb+1\)。将两棵树内直径的中点连起来，发现 \(mini=\left\lceil\dfrac{la}{2}\right\rceil+\left\lceil\dfrac{lb}{2}\right\rceil+1\)。所以我们的目标就是维护这两个值。
假装现在的根节点是 \(1\)（其实是谁大概都无所谓），再考虑维护这两个值，也就是要维护 \(dp[x]\) 表示在 \(x\) 的子树内的直径，\(del[x]\) 表示删掉 \(x\) 和 \(fa[x]\) 这条边后在 \(x\) 的子树外的直径。分别考虑怎么维护。
\(dp[x]\) 的维护可以套路地想到维护 \(chain\_down[x][0/1]\) 表示在 \(x\) 的子树内的最长链和次长链。
\(del[x]\) 的维护是个难点。我们考虑维护 \(chain\_up[x]\) 表示从 \(x\) 开始向上的最长链。发现如果删掉了 \(x\)，那么 \(del[x]\) 可能会有以下几种情况（\(fx\) 为 \(x\) 的父亲）：
- 是 \(dp[fx]\)，也就是 \(chain\_down[fx][0]+chain\_down[fx][1]\)。但此时要满足子树 \(x\) 不是 \(fx\) 的最长链或者次长链，所以我们还要维护一个次次长链，分类讨论一下即可。所以次次长链加最长链什么的情况都放在这一种情况内了。
- 是 \(chain\_up[fx]+chain\_down[fx][0]\)，因为此时类似于是以 \(fx\) 为一个根节点嘛，所以就找外面的一条链和里面的一条链即可。特判一下 \(x\) 就是最长链的情况，这时候是加上次长链。
- 是 \(fx\) 的一个子节点内的直径。此时也要判断一下 \(x\) 是不是这个直径最长的子节点，所以我们还需要维护一个 \(dia[fx][0/1]\) 维护在 \(x\) 的子节点的子树内的最长直径和次长直径。
现在我们明确了要维护哪些值，然后再考虑怎么维护。
我们发现 \(fa[x],chain\_down[x][0/1/2],dia[x][0/1]\) 的处理不需要依赖其他数组，我们就可以在第一遍 dfs 内维护这些值。
感觉这题理解哪些数组是干什么的很重要，所以我再重新列一下好了（
- \(fa[x]\)：\(x\) 的父亲
- \(deep[x]\)：\(x\) 的深度（后面有用）
- \(chain_up[x]\)：从 \(x\) 开始向上的最长链
- \(chain_down[x][0/1/2]\)：在 \(x\) 的子树内的最长链，次长链和次次长链
- \(del[x]\)：删掉 \(x\) 和 \(fx\) 这条边后在 \(x\) 的子树外的直径
- \(dia[x][0/1]\)：在 \(x\) 的子节点的子树内的最长直径和次长直径
- \(dp[x]\)：在 \(x\) 的子树内的直径
void dfs1(int x,int fx){
deep[x]=deep[fx]+1;
fa[x]=fx;
for(int i=head[x];i;i=edge[i].nex){
int v=edge[i].to;
// chain_up[v]=chain_up[x]+1;
if(v==fx) continue;
dfs1(v,x);
dp[x]=max(dp[x],dp[v]);
int now=chain_down[v][0]+1;
if(now>chain_down[x][0]){
chain_down[x][2]=chain_down[x][1];
chain_down[x][1]=chain_down[x][0];
chain_down[x][0]=now;
}
else if(now>chain_down[x][1]){
chain_down[x][2]=chain_down[x][1];
chain_down[x][1]=now;
}
else if(now>chain_down[x][2])
chain_down[x][2]=now;
now=dp[v];
if(now>dia[x][0]){
dia[x][1]=dia[x][0];
dia[x][0]=now;
}
else if(now>dia[x][1])
dia[x][1]=now;
}
dp[x]=max(dp[x],chain_down[x][0]+chain_down[x][1]);
}
剩下的数组在第二次 dfs 内处理
void dfs2(int x,int fx){
if(fx){
int now=dp[x]+del[x]+1;
if(maxi.v<now){
maxi.v=now;
maxi.xa=x,maxi.ya=fx;
}
now=max(max(del[x],dp[x]),(1+del[x])/2+(1+dp[x])/2+1);
if(mini.v>now){
mini.v=now;
mini.xa=x,mini.ya=fx;
}
}
for(int i=head[x];i;i=edge[i].nex){//删掉v这个点
int v=edge[i].to;
if(v==fx) continue;
chain_up[v]=chain_up[x]+1;
del[v]=del[x];
int now=chain_down[v][0]+1;
if(now==chain_down[x][0]){
del[v]=max(del[v],max(chain_down[x][1]+chain_down[x][2],chain_up[x]+chain_down[x][1]));
chain_up[v]=max(chain_up[v],chain_down[x][1]+1);
}
else if(now==chain_down[x][1]){
del[v]=max(del[v],max(chain_down[x][0]+chain_down[x][2],chain_up[x]+chain_down[x][0]));
chain_up[v]=max(chain_up[v],chain_down[x][0]+1);
}
else{
del[v]=max(del[v],max(chain_down[x][0]+chain_down[x][1],chain_up[x]+chain_down[x][0]));
chain_up[v]=max(chain_up[v],chain_down[x][0]+1);
}
now=dp[v];
if(now==dia[x][0])
del[v]=max(del[v],dia[x][1]);
else
del[v]=max(del[v],dia[x][0]);
dfs2(v,x);
}
}
现在我们求出了最大直径和得到它需要删哪两个节点，最小直径和得到它需要删哪两个节点。接下来就要求要接哪两个节点。
先考虑最小直径的，之前分析的是两条直径的中点。所以我们可以分别求两遍 dfs 求出两条直径的端点，再暴力求出中点即可。
再考虑最大直径的，这个比最小直径好处理，随便跑下 dfs 找到一个端点即可。
总结
- 先根据数据范围求出时间复杂度，根据这个看要遍历什么才能得到答案，比如此题就是遍历要删掉的边（点）
- 知道要求什么之后思考要维护什么
- 知道要维护什么之后，注意注释一下（，不要忘了
- 维护的东西太多之后，注意思考明确每个数组是干嘛的，明确整体思路。
