【杂谈】初赛知识点

参考资料

CSP初赛知识点梳理 | 蔡勒公式及其推导 | 三种方式求递归时间复杂度 | 常用算法时间复杂度

1. 基础数论

• 计算日期

可以用可爱的蔡勒公式，首先给出定义：

\(c\) 是已经经过的世纪数，\(y\) 是世纪内的年份，\(m\) 是月份，\(d\) 是日期数，\(w\) 是星期。

比如：2022.9.14 中 \(c=20,y=22,m=9,d=14\)，而 \(w\) 就是我们要求的。

于是蔡勒公式给出了一个求 \(w\) 的好方法：\(w=(\left\lfloor\dfrac{c}{4}\right\rfloor-2c+y+\left\lfloor\dfrac{y}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{13(m+1)}{5}\right\rfloor+d-1)\bmod 7\)。

特殊地，如果月份是 1 月或者 2 月，那么它要当成去年的 13 月或 14 月来计算。

例：计算 1976.1.17 是星期几？
将 1976 年 1 月转化成 1975 年 13 月，则 \(w=4-38+75+18+36+17-1=111\equiv6\pmod 7\)，求出是星期六。

• 排列组合

\(A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}\)：n 个元素中选出 m 个元素按顺序排列的方案数。

\(C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\):n 个元素中选出 m 个元素的方案数（也就是不考虑顺序）。

2. 时间复杂度计算

• 主定理

目前我看到的有两种版本，参考资料里都有，我就不讲了（逃）

• 常见时间复杂度

邻接表和邻接矩阵遍历

下列情况对于 \(n\) 个点，\(m\) 条边的图。

邻接矩阵：\(O(n^2)\)，对于每个点，都要将所有点访问一次。

邻接表：\(O(n+m)\)，先访问所有 \(head\) 数组，再访问边。

Dijsktra

朴素：\(O(m+n^2)\)

二叉堆/优先队列优化：\(O((n+m)\log n)\)

斐波那契堆优化：\(O(m+n\ log n)\)

SPFA

平均：\(O(km)\)，其中 \(k\) 为每个节点平均入队次数，一般为 4。

最坏：\(O(nm)\) 关于SPFA，它死了