0-1背包(SOJ 2142)
同样的题目可见：POJ 2184
问题：给出$n$个元素$node[i],1\le i\le n$,每个元素$node[i]$有两个属性smartness和funness.现在从这$n$个元素中找出一些元素$node[k], k\in S, S\subseteq[n]$使得$TS+TF$最大同时$TS\ge0, TF\ge0$,其中
$TS=\sum_{k\in S, S\subseteq[n]}node[k].smartness$,
$TF=\sum_{k\in S, S\subseteq[n]}node[k].funness$.
分析：这道题我自己想了很久没有思路，也尝试过往$0-1$背包上靠，但没想出来。后来看了网上的报告，确实是$0-1$背包模型。把smartness看作重量，把funness看作价值，定义$dp[i][j]$为使用前$i$个元素，容量为$j$时的最大funness之和，则
$dp[i][j]=\max\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-node[i].smartness]+node[i].funness\}$.
然后经过$0-1$背包，我们得到所有$dp[j]$的值。这种做法实际上是遍历smartness之和(也即是$j$)的值，当$j$固定了之后，我们只用取对应的funness之和的最大值，也即是$dp[j]$, 然后扫一遍$j$满足$j\ge0$, $dp[j]\ge0$并且$j+dp[j]$最大即可得到最优解。
上面是核心的思想，具体的细节问题还需要注意。题目中$-1000\le smartness\le 1000$, $-1000\le funness\le 1000$, 因为smartness做背包体积，并且出现负数，所以我们令每个$smartness=smartness+1000$变成非负。这样又出现一个问题，计算完了$0-1$背包，对于某个$j$，我们需要知道它是由几个$node[i].smartness$构成的，然后令$j$减去相应个数乘以$1000$. 但是我们不知道这个个数，为了解决这个问题，我们改变$dp[i][j]$的定义为使用前$i$个元素，容量为$j$时的最大smartness和funness之和，则
$dp[i][j]=\max\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-node[i].smartness]+node[i].smartness-1000+node[i].funness\}$.
这样我们得到的$dp[j]$为smartness之和为$j$时smartness和funness之和的最大值。为了分离出smartness之和以及funness之和，我们创建一个辅助数组$TF[j]$记录$dp[j]$对应的funness之和，这样扫描一遍$j$满足$TF[j]\ge0$, $dp[j]\ge TF[j]$并且$dp[j]$最大即可得到最优解。
代码：
#include<iostream>
using namespace std;
struct node
{
int smartness;
int funness;
};
node cows[105];
int dp[200005];
int TF[200005];
int main()
{
int N;
int i, j;
int INF = -0x3f3f3f3f;
int Vol;
int temp;
int ans;
while (scanf("%d", &N) == 1)
{
Vol = 0;
for (i = 0; i < N; i++)
{
scanf("%d%d", &cows[i].smartness, &cows[i].funness);
cows[i].smartness += 1000;
Vol += cows[i].smartness;
}
for (j = 1; j <= Vol; j++)
{
dp[j] = INF;
TF[j] = INF;
}
dp[0] = 0;
TF[0] = 0;
for (i = 0; i < N; i++)
for (j = Vol; j >= cows[i].smartness; j--)
if (dp[j - cows[i].smartness] > INF)
{
temp = dp[j - cows[i].smartness] + cows[i].funness + cows[i].smartness - 1000;
if (temp>dp[j])
{
dp[j] = temp;
TF[j] = TF[j - cows[i].smartness] + cows[i].funness;
}
}
ans = 0;
for (j = 0; j <= Vol; j++)
if (TF[j] >= 0 && dp[j] >= TF[j])
ans = dp[j] > ans ? dp[j] : ans;
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
参考：
