完全背包(SOJ 2785)

SOJ 2785: http://acm.scu.edu.cn/soj/problem.action?id=2785

题意：任意一个正整数都可以分解成2的幂次数之和，这里2的幂次数为集合{1,2,4,8,16,32,...}. 举个例子5，

5=1+1+1+1+1

5=1+1+1+2

5=1+2+2

5=1+4

现在给定一个数n，求解上述的分解方式有多少种。

方法一

经过分析这道题是一个完全背包问题。具体来说，将n当做背包的容量，S={1,2,4,8,16,32,...}中的每个数当做物品并且每个物品可以取任意次。定义dp[i][j]为数j由集合中的前i个数组成的方式数目，那么状态转移方程为

dp[i][j]=dp[i][j-S[i]]+dp[i-1][j].

注意初始条件为dp[0]=1. n给定了范围，所以我们可以打一个表，把所有情况计算出来。代码如下:

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[2000005];
int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d", &T);
    int i,j;
    int con = 1000000;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0] = 1;
    for (i = 1; i <= 2000000; i <<= 1)
        for (j = i; j <= 2000000; j++)
            dp[j] = (dp[j] + dp[j - i]) % con;
    while (T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        printf("%d\n", dp[n]);
    }
    return 0;
}

方法二

看到这道题直觉上感觉是个组合数学题，应该有一个递推公式。定义f(n)为n的种类数，当n为偶数的时候，

f(n)=f(n-1)+f(n/2).

f(n)由两部分组成，一部分含有1，另一部分不含1（都是偶数且为2的次幂）。不含1的这部分跟f(n/2)是一一对应的，含有1的这部分跟f(n-1)是一一对应的。证明方式可以通过下面的定理：

若a≤b并且b≤a, 则a=b. 

当n为偶数时，f(n)=f(n+1). 证明思路相同，需要注意一点的是f(n+1)中所有情况都含有1（因为n+1是奇数）。