CF351B Jeff and Furik 题解

summarization

有一个长为 $n$ 的排列 $p$, 现有甲乙两人轮流执行操作，甲是先手：

• 甲每次可以交换 $p$ 中相邻的两个数 $p_i,p_{i+1}$
• 乙每次等概率执行下面两种操作的一种：
  • 选择一对 $p_i,p_{i+1}$，且 $p_i\le p_{i+1}$，将其交换
  • 选择一对 $p_i,p_{i+1}$，且 $p_i\ge p_{i+1}$，将其交换

甲希望操作数尽可能小，求使排列升序的期望操作数。

solution

甲每次可以使序列中的逆序对减 1，乙每次有 $\frac12$ 的概率使逆序对减 1，$\frac12$ 的概率使逆序对加 1。

根据期望的可加性，当甲乙都操作过一遍时，有 $\frac12$ 的概率使逆序对减 2，$\frac12$ 的概率逆序对不变。

所以，每操作两遍，逆序对期望减少 1，所以期望操作数就是逆序对数乘 2。

但是，要注意一下细节，如果逆序对数是奇数的话，那么最后一次甲操作完后序列已经升序，所以操作数要减 1。

code

就算个逆序对，不贴了。