NOIP 2023 周赛 3 题解

A - Permutation

summarization

构造一个 $1\dots n$ 的排列使 $\prod\limits_{i=1}^n\operatorname{lcm}(p_i,p_{(i\bmod n)+1})$ 最大。

solution

不难发现上式最大为 $\prod\limits_{i=1}^ni^2$，即让所有 $\operatorname{lcm}(x,y)=x\times y$，那么只要使相邻两个数互质即可，一种构造方案为 $1,2,3,\dots,n$。

B - Best Carry Player 3

summarization

给定三个整数 $X,Y,K$，现有三个变换 $X$ 的操作：

• 让 $X$ 变为 $X+1$
• 让 $X$ 变为 $X-1$
• 选取一个 $t$ 且 $0\le t\le K$，将 $X$ 变为 $X \operatorname{xor} t$

C - Alice and Bob

summarization

对于一个 $1\sim n$ 的排列 $p$，定义一次操作为将 $p_{1\sim p_1}$ 重新排列。

现在 Alice 和 Bob 在玩游戏，Alice 先手，两人轮流操作一次排列，若有人连续两次操作的 $p_1$ 相等，则他输。

给定排列的长度 $n$，问有多少种排列 Bob 赢。

solution

先给出构造：对于排列中的每一个数 $i$，我们先把它放在第一个，再从比 $i$ 大的 $n-i$ 个数中取出 $i-1$ 个放在它后面，最后将剩下的数放在后面，方案数为 $\sum(i-1)!(n-i)!C_{n-i}^{i-1}$。

现在给出证明：对于第一个数 $i$，$[1,i]$ 中的数肯定大于等于 $i$，那么 Alice 重排后的第一个数 $x$ 肯定 $\ge i$。由于重拍后 $i$ 的位置肯定在 $[1,i]$ 之内，且 Bob 可以重排的区间 $[1,x]$ 满足 $[1,i]\subseteq[1,x]$，所以 Bob 一定可以将 $i$ 重新排回第一个，从而让 Alice 输。