1003 Reasoning（大模拟）

translation

现有一个推理系统，有如下符号组成：

圆括号： $($ 和 $)$
逻辑连词： $\lnot$ 和 $\to$
全称量词： $\forall$
变量： $u-z$
常量： $a-e$
函数： $f-h$
谓词： $P-T$

这个推理系统还包括项（term）、公式（formula）、自由出现（free occurrence）和替换（replacement）等概念。基于这些概念，我们可以定义某个项 $t$ 是否可以毫无冲突地替换某个变量 $x$ 。这是推理的基础之一，你想先解决这个问题。

项（term）的定义如下：

所有的变量 $v$ 是一个项
所有的常量 $c$ 是一个项
如果 $t_1,t_2,\dots,t_n$ 是一些项， $f$ 是一个函数，则 $f_{t_1,t_2,\dots,t_n}$ 是一个项

公式（formula）的定义如下：

如果 $t_1,t_2,\dots,t_n$ 是一些项， $P$ 是一个谓词，则 $P_{t_1,t_2,\dots,t_n}$ 是一个公式，而且这种公式被称为原子公式（atomic formula）
如果 $\varphi$ 和 $\psi$ 都是公式，则 $(\lnot\varphi)$ 和 $(\varphi\to\psi)$ 都是公式
如果 $\varphi$ 是公式， $v$ 是变量，则 $\forall v\varphi$ 是公式

$x$ 可以在 $\varphi$ 中自由出现（free occurrence）的定义如下：

如果 $\varphi$ 是原子公式， $x$ 可以在 $\varphi$ 中自由出现当且仅当在 $\varphi$ 中有 $x$ （可以理解为字符 $x$ 在字符串 $\varphi$ 中出现）
如果 $\varphi$ 是 $(\lnot\psi)$ ， $x$ 可以在 $\varphi$ 中自由出现当且仅当 $x$ 可以在 $\psi$ 中自由出现
如果 $\varphi$ 是 $(\psi\to\gamma)$ ， $x$ 可以在 $\varphi$ 中自由出现当且仅当 $x$ 可以在 $\psi$ 中自由出现或在 $\gamma$ 中自由出现
如果 $\varphi$ 是 $\forall v\psi$ ， $x$ 可以在 $\varphi$ 中自由出现当且仅当 $x$ 可以在 $\psi$ 中自由出现且 $x\neq v$

对于所有公式 $\varphi$ ，变量 $x$ ，项 $t$ ，替换（replacement） $\varphi^x_t$ 的定义如下：

如果 $\varphi$ 是原子公式，那么 $\varphi^x_t$ 是通过简单地将每个字符 $x$ 替换为字符串 $t$ 形成的表达式
如果 $\varphi$ 是 $(\lnot\psi)$ ，那么 $(\lnot\psi)^x_t=(\lnot\psi^x_t)$
如果 $\varphi$ 是 $(\psi\to\gamma)$ ，那么 $(\psi\to\gamma)^x_t=(\psi^x_t\to\gamma^x_t)$
如果 $\varphi$ 是 $\forall y\psi$ ，那么 $(\forall y\psi)^x_t=\left\{\begin{array}{ll}\forall y(\psi^x_t) & & \text{if}\ x\neq y\\\forall y\psi & & \text{if}\ x=y\end{array}\right.$

最后，无冲突替换的定义如下：

如果 $\varphi$ 是原子公式，那么 $t$ 始终可以在 $\varphi$ 中无冲突替换 $x$
如果 $\varphi$ 是 $(\lnot\psi)$ ，那么 $t$ 在 $\varphi$ 中可以无冲突替换 $x$ 当且仅当 $t$ 在 $\psi$ 中可以无冲突替换 $x$
如果 $\varphi$ 是 $(\psi\to\gamma)$ ，那么 $t$ 在 $\varphi$ 中可以无冲突替换 $x$ 当且仅当 $t$ 在 $\psi$ 和 $\gamma$ 中都可以无冲突替换 $x$
如果 $\varphi$ 是 $\forall y\psi$ ，那么 $t$ 在 $\varphi$ 中可以无冲突替换 $x$ 当且仅当：
- $x$ 不能在 $\varphi$ 中自由出现，或
- $y$ 不能在 $t$ 中自由出现，且 $t$ 在 $\psi$ 中可以无冲突替换 $x$

现在，你需要判断项 $t$ 是否可以无冲突替换 $x$

solution

模拟即可。

在代码实现上，我忽略了所有 $)$ 和 $\to$ ，然后把左括号当做一个有 2 个参数的函数，把 $\lnot$ 当成一个没有参数的函数，最后把所有变量和常量都当成没有参数的函数，这样整个公式中就只有谓语，函数和 $\forall$ ，可以一起实现。

code

#define pb push_back
int T; string s; int m, num[300]; int q; bool v[120][6]; int fa[120];
bool vis[6];
bool IS (char c) {return (c >= 'f' && c <= 'h') || (c >= 'P' && c <= 'T') || (c == '(');}
bool az[120];
void Find (int a, int id) {
	RI i, j; az[id] = 1; int lst = id; for (i = 1; i <= a; ++ i) {
		W (az[id]) ++ id; fa[id] = lst; Find (num[s[id]], id);
	}
}
bool qus[11];
int main () {
	RI i, j; Read (T); W (T --) {
		Mt (fa, -1); Mt (az, 0); Mt (num, 0); Mt (v, 0);
		cin >> s; int n = s.length (); s = " " + s; Read (m);
		for (i = 1; i <= m; ++ i) {char c; int x; Readc (c); Read (x); num[c] = x;} num['('] = 2;
		for (i = 1; i <= n; ++ i) if (s[i] == 'I' || s[i] == ')' || s[i] == 'A' || s[i - 1] == 'A') az[i] = 1;
		for (i = 1; i <= n; ++ i) if (IS (s[i])) {Find (num[s[i]], i); break;}
		bool flag = 0; for (i = 1; i <= n; ++ i) {
			if (s[i] == 'A') {vis[s[i + 1] - 'u'] = 1; ++ i; flag = 1;}
			else if (flag == 1) {for (j = 0; j <= 5; ++ j) v[i][j] |= vis[j]; Mt (vis, 0); flag = 0;} 
		} for (i = 1; i <= n; ++ i) {
			if (fa[i] == -1) continue; for (j = 0; j <= 5; ++ j) v[i][j] |= v[fa[i]][j];
		}
		Read (q); W (q --) {
			string ca; char c; cin >> ca; Readc (c); int len = ca.length (); Mt (qus, 0); 
			for (i = 0; i < len; ++ i) {
				if (ca[i] >= 'a' && ca[i] <= 'e') qus[ca[i] - 'a'] = 1;
				if (ca[i] >= 'u' && ca[i] <= 'z') qus[ca[i] - 'u' + 5] = 1;
			}
			bool YN = 1; for (i = 1; i <= n; ++ i) {
				if (s[i] != c) continue;
				if (fa[i] == -1) continue;
				if (v[i][c - 'u'] == 1) continue;
				for (j = 0; j <= 5; ++ j) {
					if (v[i][j] && qus[j + 5]) {YN = 0; break;}
				}
			}
			putchar (YN ? 'Y' : 'N'); printf ("\n"); if (! YN) continue;
			for (i = 1; i <= n; ++ i) {
				if (s[i] != c) printf ("%c", s[i]);
				else if (v[i][c - 'u'] == 1) printf ("%c", s[i]);
				else if (fa[i] == -1) printf ("%c", s[i]);
				else printf ("%s", ca.c_str ());
			} printf ("\n");
		}
	}
	return 0; 
}