LOJ #10121. 「一本通 4.2 例 3」与众不同

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summarization

给出一个长度为 \(n\) 数列 \(a\) 和若干个询问，询问某一段区间内最长的「完美序列」的长度。（「完美序列」：一段连续的序列满足序列中的数互不相同）

solution

显然在一个数列的所有「完美序列」中，我们肯定可以找到若干个最长「完美序列」，使其余的「完美序列」都被这些最长的「完美序列」中的一个包含。所以考虑求出以第 \(i\) 个数结尾的最长的「完美序列」（\(1\le i\le n\)），然后根据询问查找（后文会具体讲）。

那么设 \(st_i\) 为以第 \(i\) 个数结尾的最长的「完美序列」的起始位置； \(len_i\) 为以第 \(i\) 个数结尾的最长的「完美序列」的长度，显然 \(len_i = i - st_i + 1\)；\(lst_x\) 为 \(x\) 最近出现的位置。

\(lst_x\) 很好维护，只要在遍历到第 \(i\) 个时，使 \(lst_{a_i}=i\) 即可。\(st_i\) 可以用递推的方法维护：\(st_i=\max(st_{i-1},lst_{a_i}+1)\)。

然后处理询问，设询问区间为 \([l,r]\):

由上式，\(st_i\) 单调不减。于是我们一定可以找到一个 \(i\)，使 \(st_i\ge l,st_{i-1}<l\)，设此时的 \(i\) 为 \(mid\)。

那么 \([l,r]\) 就可以分成两部分：\([l,mid-1]\) 和 \([mid,r]\)。

• \([l,mid-1]\)：答案显然为 \(mid - l\)。
• \([mid,r]\)：答案为 \(\max\limits_{i=mid}^rlen_i\)（是一个 RMQ 问题，可以 ST 表或者别的）

取个最大值。

PS：注意细节，如 \(mid\) 的特殊位置。

code

CI N = 2e5, LGN = 20, E = 1e6; int n, m, a[N + 5], st[N + 5], len[N + 5], lst[N + 5], lg[N + 5], fa[N + 5][LGN + 5];
int ask (int l, int r) {
	int L = l, R = r, ans = r + 1, now = 0; W (L <= R) {int mid = (L + R) >> 1; if (st[mid] >= l) ans = mid, R = mid - 1; else L = mid + 1;}
	if (ans > l) now = ans - l; if (ans <= r) {int k = lg[r - ans + 1]; now = max (now, max (fa[ans][k], fa[r - (1 << k) + 1][k]));} return now;
}
int main () {
	RI i, j; for (Read (n, m), i = 1; i <= n; ++ i) Read (a[i]); for (i = 2; i <= n; ++ i) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
	for (i = 1; i <= n; ++ i) st[i] = max (st[i - 1], lst[E + a[i]] + 1), len[i] = i - st[i] + 1, lst[E + a[i]] = i, fa[i][0] = len[i];
	for (j = 1; j <= lg[n]; ++ j) for (i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; ++ i) fa[i][j] = max (fa[i][j - 1], fa[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
	for (i = 1; i <= m; ++ i) {int x, y; Read (x, y); printf ("%d\n", ask(x + 1, y + 1));}
	return 0; 
}