LOJ #10121. 「一本通 4.2 例 3」与众不同

链接：#10121. 「一本通 4.2 例 3」与众不同

summarization

给出一个长度为 $n$ 数列 $a$ 和若干个询问，询问某一段区间内最长的「完美序列」的长度。（「完美序列」：一段连续的序列满足序列中的数互不相同）

solution

显然在一个数列的所有「完美序列」中，我们肯定可以找到若干个最长「完美序列」，使其余的「完美序列」都被这些最长的「完美序列」中的一个包含。所以考虑求出以第 $i$ 个数结尾的最长的「完美序列」（$1\le i\le n$），然后根据询问查找（后文会具体讲）。

那么设 $st_i$ 为以第 $i$ 个数结尾的最长的「完美序列」的起始位置； $len_i$ 为以第 $i$ 个数结尾的最长的「完美序列」的长度，显然 $len_i = i - st_i + 1$；$lst_x$ 为 $x$ 最近出现的位置。

$lst_x$ 很好维护，只要在遍历到第 $i$ 个时，使 $lst_{a_i}=i$ 即可。$st_i$ 可以用递推的方法维护：$st_i=\max(st_{i-1},lst_{a_i}+1)$。

然后处理询问，设询问区间为 $[l,r]$:

由上式，$st_i$ 单调不减。于是我们一定可以找到一个 $i$，使 $st_i\ge l,st_{i-1}<l$，设此时的 $i$ 为 $mid$。

那么 $[l,r]$ 就可以分成两部分：$[l,mid-1]$ 和 $[mid,r]$。

• $[l,mid-1]$：答案显然为 $mid - l$。
• $[mid,r]$：答案为 $\max\limits_{i=mid}^rlen_i$（是一个 RMQ 问题，可以 ST 表或者别的）

取个最大值。

PS：注意细节，如 $mid$ 的特殊位置。

code

CI N = 2e5, LGN = 20, E = 1e6; int n, m, a[N + 5], st[N + 5], len[N + 5], lst[N + 5], lg[N + 5], fa[N + 5][LGN + 5];
int ask (int l, int r) {
	int L = l, R = r, ans = r + 1, now = 0; W (L <= R) {int mid = (L + R) >> 1; if (st[mid] >= l) ans = mid, R = mid - 1; else L = mid + 1;}
	if (ans > l) now = ans - l; if (ans <= r) {int k = lg[r - ans + 1]; now = max (now, max (fa[ans][k], fa[r - (1 << k) + 1][k]));} return now;
}
int main () {
	RI i, j; for (Read (n, m), i = 1; i <= n; ++ i) Read (a[i]); for (i = 2; i <= n; ++ i) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
	for (i = 1; i <= n; ++ i) st[i] = max (st[i - 1], lst[E + a[i]] + 1), len[i] = i - st[i] + 1, lst[E + a[i]] = i, fa[i][0] = len[i];
	for (j = 1; j <= lg[n]; ++ j) for (i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; ++ i) fa[i][j] = max (fa[i][j - 1], fa[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
	for (i = 1; i <= m; ++ i) {int x, y; Read (x, y); printf ("%d\n", ask(x + 1, y + 1));}
	return 0; 
}