NOIP 2023 模拟赛五 题解

A. [NOIP 2023 模拟赛五 By FXT A] 简单数学题

summarization

给出一个值域为 $[1,m]$ 的正整数序列 $a_{1\sim n}$，序列中的数各不相同，求出使 $a_i^2+a_j$ 为完全平方数的 $(i,j)$ 的对数。

solution

实际上就是求 $x^2+y=z^2\quad(x,y,z\in\mathbb{N}^+)$ 的 $(x,y)$，其中 $x,y$ 需要在序列中存在。

变形为 $y=(z+x)(z-x)$，考虑 $y$ 的所有成对因数。

枚举 $y$，分解 $y=a\times b\quad(a<b,a,b\in\mathbb{N}^+)$，根据 $z+x=b,z-x=a$，求出 $z,x$，最后统计答案。

由于枚举 $y$ 太慢，考虑枚举因数 $i$，再枚举 $i$ 的倍数 $ki\quad(k\ge2,ki\le m,k\in\mathbb{N}^+)$

code

CI N = 1e6; int n, m, Tng[N + 5];
int main () {
	RI i, j; for (Read (n, m), i = 1; i <= n; ++ i) {int x; Read (x); ++ Tng[x];}
	ll ans = 0; for (i = 1; i <= N; ++ i) for (j = i; j <= N; j += i) {
		int minn = min (i, j / i), maxx = max (i, j / i); if ((maxx - minn) % 2 == 0) ans += Tng[j] * Tng[(maxx - minn) / 2];
	} ans /= 2; printf ("%lld\n", ans);
	return 0; 
}

B. [NOIP 2023 模拟赛五 By FXT B] 简单第三题

summarization

给出一个 $1$ 到 $N$ 的排列，你需要求出有多少个区间 $[L,R]$，满足这个区间的值是连续的。比如 $2,3,1$ 是一个合法的区间，而 $3,1$ 不是。（$1\le N\le3\times10^5$）

solution1

考虑分治，将 $[L,R]$ 范围的答案拆为 $[L,mid],[mid+1,R]\quad(mid=\frac{L+R}2)$ 的答案和跨越 $mid$ 的连续的区间的个数，所以只需 $\mathcal{O}(n)$ 求出在 $[L,R]$ 范围内跨越 $mid$ 的连续的区间的个数。

首先，对于一个区间 $[L,R]$ 是连续的，它的充要条件是 $\text{最大值}-\text{最小值}=R-L$

所以考虑预处理出两个数组 $mx_i,mn_i$。$mx_i$ 表示在 $1\le i\le mid$ 范围内，$[L,mid]$ 区间的后缀最大值和在 $mid+1\le i\le R$ 范围内，$[mid+1,R]$ 区间的前缀最大值。$mn_i$ 同理。

那么对于 $[L,R]$ 中一个区间 $[i,j]\quad(L\le i\le mid< j\le R)$，成为连续区间的条件变为：

$$max(mx_i,mx_j)-min(mn_i,mn_j)=j-i$$

考虑分类讨论 $max(mx_i,mx_j)$ 和 $min(mn_i,mn_j)$ 的取值情况。

一、$max(mx_i,mx_j)=mx_i,min(mn_i,mn_j)=mn_i$

发现 $j=i+mx_i-mn_i$，枚举 $i$ 判断合法情况即可

二、$max(mx_i,mx_j)=mx_j,min(mn_i,mn_j)=mn_j$

同一。

三、$max(mx_i,mx_j)=mx_i,min(mn_i,mn_j)=mn_j$

发现 $mx_i+i=mn_j+j$。先固定 $i$，观察满足此情况时的不等条件：

$$\begin{aligned} mx_i>mx_j\\ mn_i>mn_j \end{aligned}$$

由于 $mx_j$ 单调不减，$mn_j$ 单调不增，所以满足上式的 $j$ 一定在一个区间 $[l,r)\quad(mid+1\le l<r\le R+1)$ 中，其中 $l,r$ 满足 $mn_i>mn_l,mn_i<mn_{l-1},mx_i>mx_{r-1},mx_i<mx_r$。

当 $i$ 左移一位后，$mx_i$ 增加或不变，$mn_i$ 减小或不变。发现 $l,r$ 都需要向右移以满足新的不等条件。

于是将 $i$ 从 $mid$ 一位一位移到 $L$，过程中维护 $j$ 取值的区间，将在区间范围内的 $j$ 的 $mn_j+j$ 加入桶中，查询 $mx_i+i$ 即可。桶的更新只需要在移动 $l,r$ 时加入一个或删除一个即可。

四、 $max(mx_i,mx_j)=mx_j,min(mn_i,mn_j)=mn_i$

同三。

复杂度 $\mathcal{O}(n)$

分治算法总复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$

code1

CI N = 3e5; int n, a[N + 5], mx[N + 5], mn[N + 5], Tng[N * 3 + 5]; ll ans = 0;
void solve (int L, int R) {
	RI i, j; if (L == R) return ; int mid = (L + R) >> 1; solve (L, mid); solve (mid + 1, R); mx[mid] = mn[mid] = a[mid]; mx[mid + 1] = mn[mid + 1] = a[mid + 1];
	for (i = mid - 1; i >= L; -- i) mx[i] = max (mx[i + 1], a[i]), mn[i] = min (mn[i + 1], a[i]);
	for (i = mid + 2; i <= R; ++ i) mx[i] = max (mx[i - 1], a[i]), mn[i] = min (mn[i - 1], a[i]);
	for (i = L; i <= mid; ++ i) {j = i + mx[i] - mn[i]; if (j > mid && j <= R && mx[i] > mx[j] && mn[i] < mn[j]) ++ ans;}
	for (j = mid + 1; j <= R; ++ j) {i = j - mx[j] + mn[j]; if (i <= mid && i >= L && mx[i] < mx[j] && mn[i] > mn[j]) ++ ans;}
	int l = mid + 1, r = mid + 1; for (i = mid; i >= L; -- i) {
		W (r <= R && mx[r] < mx[i]) ++ Tng[mn[r] + r + N], ++ r;
		W (l < r && mn[l] > mn[i]) -- Tng[mn[l] + l + N], ++ l;
		ans += Tng[mx[i] + i + N];
	} W (l < r) -- Tng[mn[l] + l + N], ++ l;
	l = mid, r = mid; for (j = mid + 1; j <= R; ++ j) {
		W (l >= L && mx[l] < mx[j]) ++ Tng[mn[l] - l + N], -- l;
		W (l < r && mn[r] > mn[j]) -- Tng[mn[r] - r + N], -- r;
		ans += Tng[mx[j] - j + N];
	} W (l < r) -- Tng[mn[r] - r + N], -- r;
}
int main () {
	RI i, j; for (Read (n), i = 1; i <= n; ++ i) Read (a[i]); solve (1, n); printf ("%lld\n", ans + n);
	return 0; 
}