学习笔记：数论

0x00 前言

本文（可能）包含的内容：

1. 学习数论的前置知识
2. 各类数论函数与其性质（和证明）
3. 如何使用各类筛求积性函数值
4. 在 OI 题目中的应用

参考资料：

• 论文 ALGEBRAIC AND ANALYTIC PROPERTIES OF ARITHMETIC FUNCTIONS
• 算法学习笔记(18)：欧拉函数
• 算法学习笔记(36): 莫比乌斯反演
• OI Wiki 筛法
• OI Wiki 杜教筛

阅读本文您应该有初中数学水平，如果没有建议阅读初一至初三的数学书。

如果文中有数学记号或专有名词您不懂其意思，请看 0xF0 附件。

0x01 数学杂项

狄利克雷卷积

定义：对于两个数论函数 $f,g$，他们的狄利克雷卷积 $(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(n)g(\frac{n}{d})$，即 $(f*g)(n)=\sum\limits_{ab=n}f(a)g(b)$

性质：两个积性函数 $f,g$ 的狄利克雷卷积也是积性函数。

证明：设 $h$ 为 $f,g$ 的狄利克雷卷积，即 $h(n)=\sum\limits_{d|n}f(n)g(\frac{n}{d})$，$gcd(x,y)=1$

$$\begin{aligned} h(x)h(y) &= \sum_{i|x} f(i) g(\frac{x}{i}) \sum_{j|y} f(j) g(\frac{y}{j}) \newline &= \sum_{i|x} \sum_{j|y} f(i) f(j) g(\frac{x}{i}) g(\frac{y}{j}) \newline &= \sum_{i|x} \sum_{j|y} f(ij) g(\frac{xy}{ij}) \newline &= \sum_{d|xy} f(d) g(\frac{xy}{d}) \newline &= h(xy) \end{aligned}$$

证毕。

0x10 数论函数

本 part 记录了几种常见的数论函数及其性质（和证明），有一些过于简单的会放在 0xF2 中。

0x11 欧拉函数

欧拉函数，符号为 $\varphi$，意为 $\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n-1}[\gcd(i,n)=1]$，即所有小于 $n$ 的数中有几个数和 $n$ 互质。

接下来是性质（和证明），设 $p \in prime$

性质1： $\varphi(p)=p-1$，证明显然。

性质2：$\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\quad(k \in \mathbb{Z+})$

证明：$p^k$ 有且仅有质因数 $p$，而比它小的 $p^{k-1}-1$ 个数中，也存在几个数含有质因数 $p$：

$p,2p,3p,\cdots,(p^{k-1}-1)p$，一共有 $p^{k-1}-1$ 个数。

于是在 $1 \sim p^k-1$ 中，与 $p^k$ 互质的数的个数为 $(p^k-1)-(p^{k-1}-1)=p^k-p^{k-1}$。

证毕。

性质3：$\varphi(ax)=a\varphi(x)\quad(a|x)$

性质4：$\varphi(x)\varphi(y)=\varphi(xy)\quad (\gcd(x,y)=1)$，所以欧拉函数是积性函数。

性质5：设 $n$ 的质因数分解为 $\prod\limits_{i=1}^mp_i^{a_i}$，那么 $\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})$

性质6：$\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n$

证明：设 $f(n)=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)$，当 $gcd(x,y)=1$ 时：

$$\begin{aligned} f(x)f(y) &= \sum_{i|x}\varphi(i) \times \sum_{j|y}\varphi(j)\newline &= \sum_{i|x} \sum_{j|y} \varphi(i) \varphi(j)\newline &= \sum_{i|x} \sum_{j|y} \varphi(i \times j)\newline &= \sum_{d|xy} \varphi(d)\newline &= f(xy) \end{aligned}$$

所以 $f$ 是积性函数，那么设 $n$ 的质因数分解为 $\prod\limits_{i=1}^mp_i^{a_i}$，由 $f$ 是积性函数可得：

$$f(n) = \prod_{i=1}^mf(p_i^{a_i})$$

由性质2，可得 $f(p^c)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\cdots+\varphi(p^c)=1+(p-1)+(p^2-p)+\cdots+(p^c-p^{c-1})=p^c$

所以 $f(n)=\prod_{i=1}^mf(p_i^{a_i})=\prod_{i=1}^mp_i^{a_i}=n$

原命题得证。

证毕。

0x12 莫比乌斯函数

莫比乌斯函数，符号为 $\mu$，定义如下：

$$\left\lbrace \begin{aligned} 1 & & n=1 \newline (-1)^m & & n=\prod\limits_{i=1}^mp_i^{a_i},a_{1\sim n}=1 \newline 0 & & otherwise \newline \end{aligned} \right.$$

性质1：$\mu(x)\mu(y)=\mu(xy)\quad(\gcd(x,y)=1)$

证明：如果 $x = 1$ 或 $y = 1$，显然。

如果 $\mu(x) = 0$ 或 $\mu(y) = 0$，显然。

否则 $\mu(x) \mu(y) = (-1)^{m_x} (-1)^{m_y} = (-1)^{m_x+m_y} = \mu(xy)$

证毕。

性质2：$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=\epsilon(n)$

证明：与欧拉函数的性质6证明类似。

0x20 筛法

本 part 记录了几种常见的筛法筛积性函数和素数的方法。

0x21 埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）

筛质数

考虑如果一个数 $x$ 是合数，那么 $x$ 的倍数也是合数，所以如果我们从小到大考虑每个数，然后同时把当前这个数的所有（比自己大的）倍数记为合数，那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。

CI N = 2e5; bool Mx[N + 5];
void Eratosthenes (int n) {
	RI i, j; Mx[1] = 1; for (i = 2; i <= n; ++ i) if (! Mx[i]) for (j = 2; i * j <= n; ++ j) Mx[i * j] = 1;
}

时间复杂度 $O(n\log\log n)$

0x22 线性筛（欧拉筛）

考虑到埃氏筛一个合数可能被筛多遍，如果省掉无意义的步骤，复杂度就降为 $O(n)$ 了。

筛质数

CI N = 2e5; int P[N + 5], Nt; bool Mx[N + 5];
void Euler (int n) {
	RI i, j; for (i = 2; i <= n; ++ i) for (! Mx[i] && (P[++ Nt] = i), j = 1; j <= Nt && i * P[j] <= n; ++ j) if (Mx[i * P[j]] = 1, ! (i % P[j])) break;
}

筛欧拉函数

根据欧拉函数的如下性质：

• $\varphi(p)=p-1\quad(p \in prime)$
• $\varphi(x\times p)=\varphi(x)\times p\quad(p\mid x)$
• $\varphi(x\times p)=\varphi(x)\times(p-1)\quad(\gcd(p,x)=1)$

可以在筛质数的同时筛出欧拉函数。

CI N = 1e5; int P[N + 5], Pt, phi[N + 5], n; bool Mx[N + 5];
void C (int d)
{
	RI i, j; phi[1] = 1; for (i = 2; i <= d; ++ i) for (! Mx[i] && (P[++ Pt] = i, phi[i] = i - 1), j = 1; j <= Pt && i * P[j] <= d; ++ j) {
		if (Mx[i * P[j]] = 1, ! (i % P[j]) && (phi[P[j] * i] = phi[i] * P[j], 1)) break;
		else phi[i * P[j]] = phi[i] * (P[j] - 1);
	}
}

筛莫比乌斯函数

CI N = 1e5; int P[N + 5], Pt, mu[N + 5], n; bool Mx[N + 5];
void C (int d)
{
	RI i, j; mu[1] = -1; for (i = 2; i <= d; ++ i) for (! Mx[i] && (P[++ Pt] = i, mu[i] = -1), j = 1; j <= Pt && i * P[j] <= d; ++ j) {
		if (Mx[i * P[j]] = 1, ! (i % P[j]) && (mu[P[j] * i] = 0, 1)) break;
		else mu[i * P[j]] = -mu[i];
	}
}

0x30 例题

P2158 [SDOI2008] 仪仗队

思路

显然，如果一个坐标 $(x,y)$，$\gcd(x,y) \ne 1$，那么这个点一定会被 $(\frac{x}{\gcd(x,y)},\frac{y}{\gcd(x,y)})$ 这个点挡住。那么，这个式子就很显然了：

$$\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^n [\gcd(x,y)=1]$$

这个式子可以拆成三部分：

$$\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^{x-1} [\gcd(x,y)=1] + \sum_{x=1}^n \sum_{y=x}^{x} [\gcd(x,y)=1] + \sum_{x=1}^n \sum_{y=x+1}^{n} [\gcd(x,y)=1]$$

其中因为对于所有 $(x,x)$ 的点，都会被 $(2,2)$ 挡住，所以中间这部分为 $1$。由图像可知，式子前后两部分是对称的，所以这个式子可以化简为：

$$2\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^{x-1} [\gcd(x,y)=1] + 1$$

而 $\sum_{y=1}^{x-1} [\gcd(x,y)=1]$ 这部分刚好是 $\varphi$ 的定义，所以最终式子为：

$$2\sum_{x=1}^n \varphi(x) + 1$$

可以先线性筛筛出 $1 \sim n$ 的欧拉函数，然后 $O(n)$ 统计答案。

P2398 GCD SUM

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \gcd(i,j)\qquad (0)$$

通过欧拉函数的性质，可以将这个式子化简为：

$$\begin{aligned} (0) &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{d | gcd(i,j)} \varphi(d)\newline &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{d | i,d | j} \varphi(d)\newline &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{d=1}^n \varphi(d) [d | i] [d | j]\newline &= \sum_{d=1}^n \varphi(d) \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [d | i] [d | j]\newline &= \sum_{d=1}^n \varphi(d) \lfloor \frac{n}{d} \rfloor^2 \end{aligned}$$

这样就可以 $O(n)$ 解决问题了，可以再套一个整除分块，但是 $n \le 10^5$，所以没必要。

P3455 [POI2007]ZAP-Queries

假设 $b \ge a$，那么题目显然让我们求

$$\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b [\gcd(i,j) = x]$$

将 $x$ 除掉，得：

$$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{a}{x}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{b}{x}\rfloor} [\gcd(i,j) = 1]$$

根据莫比乌斯函数的性质，得：

$$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{a}{x}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{b}{x}\rfloor} \sum_{d|\gcd(i,j)} \mu(d)$$

将 $d$ 改为枚举 $d$ 的形式，得：

$$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{a}{x}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{b}{x}\rfloor} \sum_{d=1}^{\lfloor\frac{a}{x}\rfloor} \mu(d) [d | \gcd(i,j)]$$

发现 $\sum\limits_{d=1}^{\lfloor\frac{a}{x}\rfloor} \mu(d)$ 可以提到前面去，得：

$$\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{a}{x}\rfloor} \mu(d) \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{a}{x}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{b}{x}\rfloor} [d | \gcd(i,j)]$$

如果 $[d | \gcd(i,j)] = 1$，那么 $i,j$ 都要是 $d$ 的倍数，于是得：

$$\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{a}{x}\rfloor} \mu(d) \lfloor\frac{a}{xd}\rfloor \lfloor\frac{b}{xd}\rfloor$$

由于有多组数据，所以套一个整除分块，复杂度 $O(T\sqrt n)$，其中 $T$ 为数据组数，$n$ 为 $\min(a,b)$。

0xF0 附件

0xF1 算式中出现的符号及其含义

符号	含义	例子
$x \mid y,x \nmid y$	前者为 $y$ 整除 $x$，即 $x$ 是 $y$ 的因数；后者与前者相反	$1 \mid 2,2\mid6 ,4\mid 20,3 \nmid 4,4 \nmid 9$
$\gcd(x,y)$	$x$ 和 $y$ 的最大公因数	$\gcd(2,4)=2,\gcd(3,7)=1$
$\sum$	求和，具体见例子	$\sum\limits_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\cdots+a_n,\sum\limits_{d\mid n}d=n的所有因数相加$
$\prod$	求积，具体见例子	$\prod\limits_{i=1}^n a_i=a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n$
$\forall$	所有满足某条件的数	$\forall x\mid y$ 指 $x$ 的取值范围为 $y$ 的因数，或 $y$ 的因数集合
$[A]$	如果 $A$ 为 false，那么 $[A]=0$；如果 $A$ 为 true，那么 $[A]=1$	$[2\mid 3]=0,[\gcd(2,4)=2]=1,[1=0]=0$
$\lfloor x \rfloor$	向下取整	$\lfloor 1.2 \rfloor = 1,\lfloor 4.9 \rfloor = 4,\lfloor 5 \rfloor = 5$

0xF2 描述中出现的专有名词或字母含义

• 数论函数： 指在整数集中定义的函数。
• 积性函数：如果数论函数 $f$，对于满足 $\gcd(x,y)=1$ 的 $\forall x,y$，$f(x)f(y)=f(xy)$ ，那么 $f$ 就是一个积性函数。
• $\mathbb{Z}$：指整数集，$\mathbb{Z+}$ 指正整数集。
• $\epsilon$：单位函数，定义为 $\epsilon(1)=1,\epsilon(n)=0\quad(n\ge2)$。
• $Id$：单位函数，定义为 $Id(n)=n$。