杜教筛

根据狄什么卷积，对于数论函数 $f,g$ 有

$$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}g(n)f(\frac{n}{d})$$

进一步地，有

$$\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})$$

$$=\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor n/d\rfloor }f(i)$$

$$=\sum _{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$

这个东西能干啥呢就是说如果现在想求 $\sum _{i=1}^{n}f(i)$，可以构造一个 $g$，一般就是 $g=I,g=id$ 这样的。根据上面的式子

$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

$$=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

那现在，如果 $g(1),\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i),\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$ 都可以用一个比较优秀的时间复杂度求出来，$S(n)$ 也就可以比较优秀时间复杂度地求出来。

比如说求 $\sum _{i=1}^n\mu (i)$，构造一个 $f(i)=\mu (i),g(i)=I$

由狄卷定义和莫函数性质有

$$\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}\mu (d)=1$$

而后面的部分就是

$$\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

可以加一个记忆化然后数论分块。杜教筛筛值的时间复杂度一般是 $O(n^{\frac{3}{4}})$，把记忆化的可以 $O(n_0)$ 预处理的部分（比如线性筛）的 $n_0$ 给成$n^{\frac{2}{3}}$ 可以实现 $O(n^{\frac{2}{3}})$。我不会证。

再比如说求 $\sum _{i=1}^n\varphi (i)$，可以根据 $\varphi \ast I=id$ 构造

$$S(n)=n\ast (n+1)/2-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

选数

就是说设 $f(x)$ 为答案，$F(x)$ 为gcd为 $x$ 的倍数的方案，就有

$$F(x)=\sum _{x|d}f(d)=(\lfloor \frac{H}{x}\rfloor -\lfloor \frac{L-1}{x}\rfloor {)}^n$$

莫反一下

$$f(x)=\sum _{x|d}\mu (\frac{d}{x})F(d)$$

然后发现给 $F()$ 带进去没法整除分块因为定义域不连续非常蛋疼，于是给变量全除以 $x$，答案等价于求 $f(1)$

$$f(1)=\sum _{d=1}^{\lfloor H/x\rfloor }\mu (d)(\lfloor \frac{H}{dx}\rfloor -\lfloor \frac{L-1}{dx}\rfloor \rfloor {)}^n$$

前半部分杜教筛，后半部分数论分块。

神犇和韶身

想一下可以发现 $A=1,B=\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i)$

看一下 $B$ 能构造什么 $g$ 来求，试一下 $g=id$ 就有

$$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}g(d)f(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}d\frac{n}{d}\varphi (\frac{n}{d})=\sum _{d|n}n\varphi (d)=n^2$$

所以

$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

$$=\sum _{i=1}^n{i}^2-\sum _{i=2}^{n}iS(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

前半公式，后半数论分块。

dzy love math IV

很蛋疼啊这个，但是发现 $n\le {10}^5$，考虑枚举 $n$，设 $S(n,m)=\sum _{i=1}^m\varphi (ni)$

原题等价于求 $\sum _{i=1}^{n}S(i,m)$

然后就有

$$\sum _{i=1}^m\varphi (ni)=y\sum _{i=1}^m\varphi (x)phi(i)$$

这里设 $n=\prod p_i^{a_i},x=\prod p_i,y=n/x$

然后

$$=y\sum _{i=1}^m\varphi (\frac{x}{gcd(x,i)})\varphi (i)gcd(x,i)$$

$$=y\sum _{i=1}^m\varphi (\frac{x}{gcd(x,i)})\varphi (i)\sum _{d|gcd(x,i)}\varphi (d)$$

$$=y\sum _{i=1}^m\varphi (i)\sum _{d|gcd(x,i)}\varphi (\frac{x}{d})$$

$$=y\sum _{d|x}\varphi (\frac{x}{d})\sum _{d|i}^m\varphi (i)$$

$$=y\sum _{d|x}\varphi (\frac{x}{d})\sum _{i=1}^{\lfloor m/d\rfloor }\varphi (di)$$

$$=y\sum _{d|x}\varphi (\frac{x}{d})S(d,\lfloor \frac{m}{d}\rfloor )$$

然后线性筛预处理 $x$。枚举 $d$ 然后杜教筛。