虚树#1

基环树那块闲了再写。

本文针对虚树板题作原理解释和介绍写法。

消耗战

如果不考虑多测那么这是一道裸的树形dp。

令 $d{p}_u$ 表示切断以 $u$ 为根的子树里所有关键点的最小花费。

$$ans=d{p}_{root}=d{p}_1$$

$$d{p}_u=min(min{v}_u,\sum _{v\in so{n}_u}d{p}_v)$$

其中 $min{v}_u$ 表示切断路径 $1->u$ 的最小花费。可以容易地实现 $O(n)$ 预处理

也就是：要么把 $u$ 切了，要么把 $u$ 的儿子中的路都切了。

时间复杂度 $O(n)$，加了多测是 $O(nm)$。会导致TLE。

考虑优化，注意到 $\sum k$ 与 $n$ 同阶，也就是在 $m$ 足够大时，树中的大部分节点是无用的，我们不需要管没有关键点的节点，而且 $root$ 到关键点的路径上也有大多数点是无用的，因为 $min{v}_i$ 已经帮我们实现了断开位置的选取。

也就是说，唯一有用的点是查询的关键点和他们的 $lca$。

用这些点捏一棵新的树，则 $m$ 颗新树的大小之和与 $n$ 同阶，新树上的转移方程是适用的。

这里借用题解的图方便理解。

从原树中提取的新树长这样。

可以发现，答案没有变化。

这个思想就叫做虚树。

现在考虑如何构建虚树。

构建思想和笛卡尔树很像，都使用单调栈维护右链的方式。

首先把关键点按 dfs序 排序，将第一个点入栈。

令 $lca$ 表示待添加节点 $u$ 与 $sta{c}_{top}$ 的最近公共祖先。然后讨论如何加入。

• $lca=sta{c}_{top}$

说明节点 $u$ 就在栈顶节点的子树中，直接加入右链。

• lca 在 $sta{c}_{top}$ 到 $sta{c}_{top-1}$ 的路径上。

此时弹出 $sta{c}_{top}$，把 $lca$ 和 $u$ 压入栈中。

• $lca=sta{c}_{top-1}$

这个时候只弹栈顶，把 $u$ 入栈。

• $de{p}_{lca}<de{p}_{sta{c}_{top-1}}$

此时 $sta{c}_{top}$ 和 $sta{c}_{top-1}$ 没法界定 $stac$ 了，那就一直弹栈顶连边直到满足上面三种情况之一，然后把 $lca$ 和 $u$ 入栈。

于是可以跑出本题的虚树的建树过程。

for(int i=2;i<=k;i++){
	int u=tar[i],anc=lca(u,stac[tt]);//跑出lca
	while(1){
		if(dep[anc]>=dep[stac[tt-1]]){//第四种情况以外的情况，此时stactop和stactop-1能够界定lca的位置。
			if(anc!=stac[tt]){//只要lca不是栈顶那就得踢掉(2,3种情况)
				readd(anc,stac[tt]);
				if(anc!=stac[tt-1])stac[tt]=anc;//第二种情况。
				else --tt;//第三种情况。
			}
			break;
		}
		else{
			readd(stac[tt-1],stac[tt]);
			--tt;
		}
	}
	stac[++tt]=u;//无论如何 u 都入栈。
}

最后右链很可能还是有东西的，把右链逐个连边。

while(--tt)readd(stac[tt],stac[tt+1]);

然后在新图上跑 $dp$ 就可以了，不过要注意跑的时候还要顺带把图给拆了，这时向量的拆图效率就不如前向星。

提供完整代码。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 500005
#define int long long
using namespace std;
int n,m,k;
const int inf=1e18;
struct node{
	int v,w,nxt;
}edge[MAXN];
int h[MAXN],tmp;
inline void add(int u,int v,int w){
	edge[++tmp].v=v;edge[tmp].w=w;
	edge[tmp].nxt=h[u];
	h[u]=tmp;
}
int lcafa[25][MAXN],dfn[MAXN],tim,dep[MAXN],minv[MAXN];
inline void dfs1(int u){
	for(int i=0;lcafa[i][u];i++){
		lcafa[i+1][u]=lcafa[i][lcafa[i][u]];
	}
	dfn[u]=++tim;
	for(int i=h[u];i;i=edge[i].nxt){
		int v=edge[i].v,w=edge[i].w;
		if(!dfn[v]){
			dep[v]=dep[u]+1;
			minv[v]=min(minv[u],w);
			lcafa[0][v]=u;
			dfs1(v);
		}
	}
}
inline int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(dep[lcafa[i][x]]>=dep[y])x=lcafa[i][x];
	}
	if(x==y)return x;
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(lcafa[i][x]!=lcafa[i][y]){
			x=lcafa[i][x];
			y=lcafa[i][y];
		}
	}
	return lcafa[0][x];
}
inline void INIT(){
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++){
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	minv[1]=inf;
	dfs1(1);
}
bool cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}
int tar[MAXN];
bool que[MAXN];
int stac[MAXN],tt;
node nedge[MAXN];
int nh[MAXN],ntmp;
inline void readd(int u,int v){
	nedge[++ntmp].v=v;
	nedge[ntmp].nxt=nh[u];
	nh[u]=ntmp;
}
inline int dfs(int u){
	int sum=0,res=inf;
	for(int i=nh[u];i;i=nedge[i].nxt){
		int v=nedge[i].v;
		sum+=dfs(v);
	}
	if(que[u])res=minv[u];
	else res=min(minv[u],sum);
	que[u]=0;
	nh[u]=0;
	return res;
}
inline void Work(){
	scanf("%lld",&m);
	while(m--){
		scanf("%lld",&k);
		for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%lld",&tar[i]),que[tar[i]]=1;
		sort(tar+1,tar+1+k,cmp);
		tt=1,stac[tt]=tar[1];
		for(int i=2;i<=k;i++){
			int u=tar[i],anc=lca(u,stac[tt]);
			while(1){
				if(dep[anc]>=dep[stac[tt-1]]){
					if(anc!=stac[tt]){
						readd(anc,stac[tt]);
						if(anc!=stac[tt-1])stac[tt]=anc;
						else --tt;
					}
					break;
				}
				else{
					readd(stac[tt-1],stac[tt]);
					--tt;
				}
			}
			stac[++tt]=u;
		}
		while(--tt)readd(stac[tt],stac[tt+1]);
		printf("%lld\n",dfs(stac[1]));
		ntmp=0;
	}
}
signed main(){
	INIT();
	Work();
	return 0;
}

虚树的 $dfn$ 似乎与重链剖分的 $dfn$ 不共用，第一遍用树剖打就打炸了，也可能是我自己的原因。