「总结」FWT

前置知识：FWT 的另一种理解

FWT 的另一种理解，文中使用的系数矩阵 \(F\) 似乎不太标准，本文中认为 \(\mathscr{F}(\bm a)=F\times\bm a\)。

摘要：FWT 使用的线性变换的系数矩阵 \(F\) 需要满足 \(F(i,x\oplus y)=F(i,x)\times F(i,y)\)。

同或卷积

因为同或运算在每一位上是独立的，所以我们只需要构造一个 \(2\times 2\) 的矩阵 \(F\) 即可。

可以令 \(F=\begin{bmatrix}1 & 1\\-1 & 1\end{bmatrix}\)，则 \(F^{-1}=\begin{bmatrix}0.5 & -0.5\\0.5 & 0.5\end{bmatrix}\)。

k 进制 FWT

\(k\) 进制异或即 \(k\) 进制不进位加法，我们需要一种能够自动对 \(k\) 取模的结构。

容易想到令 \(F(i, j) = \omega_k^j\)，但是该矩阵不可逆。

显然必须添加 \(i\) 的影响。联想到乘法分配律，令 \(F(i, j) = \omega_k^{ij}\) 即可。

发现 \(F\) 与 FFT 的系数矩阵相同，可以类比得出 \(F(i, j) = {1 \over k} \times \omega_k^{-ij}\)。