稀疏矩阵三元组表快速转置（C语言实现）
本来准备昨天下午写的，但是因为去参加360众测靶场的考核耽搁了，靶场的题目还是挺基础的。
继续学习吧。
使用黑色墨水在白纸上签名就像由像素点构成的稀疏矩阵。如图4所示。
图4 手写体签名
【问题】请将以下稀疏点阵信息用三元组表进行存储，并：
|
|
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
(1)用稀疏矩阵快速转置法对该矩阵进行转置。转置前后的三元组表均以行序为主序。
(2) 以阵列形式输出转置前后的稀疏矩阵，如图5所示。
图5 (a)转置前 (b)转置后
先普及一下稀疏矩阵的概念：
简单理解稀疏矩阵就是元素大部分为零的矩阵，在实际生活中我们遇到的大型稀疏矩阵，如果按照常规的储存方法，就会造成大量空间的浪费，而且在访问和操作的时候也会造成大量时间上的浪费。三元组表就是为了解决这一问题而产生的解决方案之一。
稀疏矩阵由于其自身的稀疏特性，通过压缩可以大大节省稀疏矩阵的内存代价。具体操作是：将非零元素所在的行、列以及它的值构成一个三元组（i，j，v），然后再按某种规律存储这些三元组，这种方法可以节约存储空间，而这些三元组的集合，就是三元组表。
我们一步步来，将问题分解为一个个小模块，先将稀疏矩阵存储在三元组表中
因为C语言中没有三元组这种数据类型，所以我们先使用typedef定义三元组表：
typedef struct{
int i,j,val;
}NODE;
i,j,val分别表示三元组表的行，列以及非零元素的值。
这里的需要储存的稀疏矩阵也一起定义了
int nums[11][10]={
{0,1,1,1,1,1,1,1,0,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
{0,0,0,0,0,0,0,1,0,0},
{0,0,0,0,0,0,1,0,0,0},
{0,0,0,0,0,1,0,0,0,0},
{0,0,0,0,1,0,0,0,0,0},
{0,0,0,1,0,0,0,0,0,0},
{0,0,1,0,0,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0,0,0,0,0},
{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}
};
这里有一个问题是：
将稀疏矩阵存储到三元组表中时，需要记录稀疏矩阵的行列值吗？
答案是肯定的，如果不存储稀疏矩阵的行列值，当遇到稀疏矩阵最后一行全部是0的情况，由稀疏矩阵得到的三元组表，是无法还原成原来的稀疏矩阵的。
在上面的稀疏矩阵中，一共有28个非零元素，行值为11，列值为10，所以我们需要申请29个三元组的储存空间，多余的那一个储存空间用来存储稀疏矩阵的行，列值，以及稀疏矩阵中非零元素的个数
#define T 28 NODE matrix[T+1]; matrix[0].i=11; matrix[0].j=10; matrix[0].val=0;
用三元组表中第0个元素存储稀疏矩阵的基础信息
然后就到了将稀疏矩阵nums存储进三元组表的操作，遍历稀疏矩阵，当有元素为1的时候，将三元组表非零元素数量matrix[0].val++;然后依次将稀疏矩阵非零元素的信息存储进三元组表中
void init_matrix(NODE* matrix){
int i,j;
for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
if(nums[i][j]==1){
matrix[0].val++;
matrix[matrix[0].val].i=i;
matrix[matrix[0].val].j=j;
matrix[matrix[0].val].val=nums[i][j];
}
}
}
}
存储了之后我们将三元组表输出还原成稀疏矩阵，看是否能正确还原
void put_matrix(NODE* matrix){
int i,j;
int count=1;
for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
if(i==matrix[count].i&&j==matrix[count].j){
printf("%d",matrix[count].val);
count++;
}else{
printf("0");
}
}
printf("\n");
}
}
程序运行的结果是
可以看到显示与原稀疏矩阵相同，说明存储入三元组表是正确的
接下来我们进行三元组表的快速转置，先贴一张上课时候的PPT
当然如果直接看PPT的话很有可能还是一头雾水，所以举一个形象的例子：
一个年级有四个班的同学，一班有20人，二班有30人，三班有40人，四班有50人，全年级的同学一起到电影院看电影，进了电影院之后，告诉我们要按照班级的顺序坐座位，座位只有一排，大家进电影院的时候都是跟自己熟悉的朋友一起，自然是乱序的，那我们应该怎么才能快速依次按照班级的顺序坐座位呢？
有一个办法是，大家随便坐座位，到了位置上之后，再进行班级顺序的比较，让一班的同学坐一班的位置，二班的同学坐二班的位置等等等，但是这样两两进行比较，效率未免过于低下。
另外的一个办法是，坐座位的时候，先把人群里面的一班同学筛选出来，依次放在一班同学的位置，然后再将人群里面的二班同学筛选出来，放在一班同学的后面位置，然后。。。
思考了之后，好像没有能够只筛选（遍历）一次人群就坐好座位的办法。
当然是！有的
所以就引入快速转置三元组表的办法，即如果我们提前知道每个班有多少人，在遍历人群的时候，只需要将其放在每个班开始的位置就行了。
如人群的开始班级排列是这样的 2,3,1,4,2,2,3.。。。。第一个同学是2班的，我们将其安排在第21号座位上（假设座位号是从1开始），因为我们知道前面会有20个一班的同学要坐座位，接着二号同学是三班的，安排在51号座位，三号同学是1班的，安排在1号座位，四号同学是四班的，安排在91号座位，五号同学！又是二班的，但是原来二班的同学已经坐了21号，所以我们理所当然地坐在22号座位，后面的也是这样，只需要遍历一次原人群，就能将同学们按照顺序坐在相应的位置上了。
但是在上面的描述中，我们需要知道每个班有多少人，以及每个班的第一个位置是在哪里（比如最开始二班同学的第一个位置是21号座位，有同学坐了21号座位之后，第一个位置自然就后移成22号座位了，等待下一个同学来坐，坐了之后再继续后移），所以需要两个辅助数组来存储这两个信息
num数组用来存储每个班中的人数，cpot数组用来存储每个班的第一个位置。
在三元组表快速转置中,num[i]表示原三元组表中第i列中非零元的个数，cpot[i]表示原三元组表中第i列中第一个非零元素的在新的三元组表中的位置（cpot这一段可能有点绕，再解释一下，因为在题目中，我们需要转置之后的三元组表按照行主序排列，由于是转置之后的，说明我们的顺序在转置之前，是按照列序在新的三元组表中放置，即如果新的三元组表中有(2,1),(1,2)，那么(1,2)会在(2,1)的下面，因为2>1，找到其在三元组表中对应的位置后，再进行行列转置）
接下来将新三元组表中第0元素设置好
new_matrix[0].i=matrix[0].j; new_matrix[0].j=matrix[0].i; new_matrix[0].val=matrix[0].val;
然后初始化num数组和cpot数组，这里需要提到的是两个PPT里面也显示了的关系，再贴一次：
cpot[i]表示原三元组表中第i列中第一个非零元素在新的三元组表中的位置，可以理解为同学们去看电影的时候，每个班在电影院座位上的最开始那个座位，比如二班的同学最开始是21，三班的同学是51，但是有一个显而易见的事实是（别告诉我你没看出来:-)当然没看出来也没事），一班的同学在座位中最开始的座位是1，这个是不需要遍历人群，也不需要由班级人数可以确定的，而其他每个班开始的位置，是上一个班的开始位置+上一个班的人数，如21=1+20,1是一班开始的座位，20是1班的人数，三班的同学由二班的位置又可以得到51=21+30，依次类推初始化cpot
for(i=0;i<matrix[0].j;i++){
num[i]=0;
}
for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
num[matrix[i].j]++;
}
cpot[0]=1;
for(i=1;i<matrix[0].j;i++){
cpot[i]=cpot[i-1]+num[i-1];
}
最后就是最关键的转置的时候了，当然经过前面这么多的铺垫，最后这一步已经显得很简单了，和大家去看电影这个例子一样，按照步骤放位置就行了。
使用tmp变量存储该元素属于哪一列（哪一个班级），first变量存储其列在新的三元组表中存储的位置（该班级同学坐的第一个位置），然后将原三元组表中的数据转置之后放进去就行了，最后让这个列在新的三元组表中存储位置后移一位（后来的该班同学只好坐在这个同学后面啦），代码已经不是很重要了
for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
tmp=matrix[i].j;
first=cpot[tmp];
new_matrix[first].i=matrix[i].j;
new_matrix[first].j=matrix[i].i;
new_matrix[first].val=matrix[i].val;
cpot[tmp]++;
}
分析完了之后是不是感觉也没那么难了呢，其实关键的代码只有那么几处，慢慢分析是可以缕清思路的。
转置后输出结果为：
完整代码如下：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX 111
int nums[11][10]={
{0,1,1,1,1,1,1,1,0,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
{0,0,0,0,0,0,0,1,0,0},
{0,0,0,0,0,0,1,0,0,0},
{0,0,0,0,0,1,0,0,0,0},
{0,0,0,0,1,0,0,0,0,0},
{0,0,0,1,0,0,0,0,0,0},
{0,0,1,0,0,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0,0,0,0,0},
{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}
};
typedef struct{
int i,j,val;
}NODE;
#define T 28
void put_matrix(NODE* matrix){
int i,j;
int count=1;
for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
if(i==matrix[count].i&&j==matrix[count].j){
printf("%d",matrix[count].val);
count++;
}else{
printf("0");
}
}
printf("\n");
}
}
void init_matrix(NODE* matrix){
int i,j;
for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
if(nums[i][j]==1){
matrix[0].val++;
matrix[matrix[0].val].i=i;
matrix[matrix[0].val].j=j;
matrix[matrix[0].val].val=nums[i][j];
}
}
}
}
void put_nums(){
int i,j;
for(i=0;i<11;i++){
for(j=0;j<10;j++){
printf("%d",nums[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
void reverse_matrix(NODE* matrix,NODE* new_matrix){
int num[matrix[0].j],cpot[matrix[0].j];
int tmp,first,i;
new_matrix[0].i=matrix[0].j;
new_matrix[0].j=matrix[0].i;
new_matrix[0].val=matrix[0].val;
for(i=0;i<matrix[0].j;i++){
num[i]=0;
}
for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
num[matrix[i].j]++;
}
cpot[0]=1;
for(i=1;i<matrix[0].j;i++){
cpot[i]=cpot[i-1]+num[i-1];
}
//转置存储
for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
tmp=matrix[i].j;
first=cpot[tmp];
new_matrix[first].i=matrix[i].j;
new_matrix[first].j=matrix[i].i;
new_matrix[first].val=matrix[i].val;
cpot[tmp]++;
}
}
int main(){
int i,j;
NODE matrix[T+1],new_matrix[T+1];
matrix[0].i=11;
matrix[0].j=10;
matrix[0].val=0;
printf("储存入三元组表前:\n");
put_nums();
printf("初始化三元组表...");
init_matrix(matrix);
printf("\n使用三元组表按行主序进行储存后:\n");
put_matrix(matrix);
printf("正在转置...");
reverse_matrix(matrix,new_matrix);
printf("\n转置后的结果为:\n");
put_matrix(new_matrix);
return 0;
}
以上
matrix[
