2015 北京省队集训

2015 北京省队集训

Day 1

训练题

树的难题

给定 n 个点的边带权三色树（黑白灰），定义“均衡的”三色树为“不存在黑点”或“只存在不超过 1 个白点”。
删掉一些边得到“均衡的”森林，最小化删掉的边权和。

数据范围 $n\le 3\ast {10}^5$

key：dp

$f(u,op)$ 代表 u 子树合法，且 u 所在连通块满足条件 op，最小删掉的边权和，转移平凡。

秘密任务

给定 n 个点的边带权无向图，定义“逃跑路线”为从 1 到 n 的任意一条最短路。在边 (u,v) 上设置检查点，代价为 $min(a_u,a_v)$，当“逃跑路线”经过 (u,v) 时拦截成功。特别的，点 n 不能设置检查点。
可以设置任意多个检查点，最小化总代价，使选择任意“逃跑路线”，都可以拦截成功，并判断最优方案是否唯一。

数据范围 $n\le 400,m\le 4000$

key: 最短路图 + 最小割唯一性

1. 求出 1 到 n 的最短路
2. 保留在最短路上的边 ($dis(1,u)+w(u,v)+dis(v,n)=dis(1,n)$)
3. 求最小割
4. 判断最小割是否唯一

   当且仅当所有必定出现的边权和等于最小割。
   引理：有向边(u, v)必定出现在任意最小割中，当且仅当在最终的残留网络中点 1 可达点 u，点 v 可达点 n。

数对统计

给定序列 $\{A_n\}$，$m$ 次询问 $(v,L,R)$，求满足 $[l,r]\subseteq [1,n],r-l+1\in [L,R],\mathrm{\forall }j\in [l,r],A_j\ge v$ 的数对 $(l,r)$ 数量。

数据范围 $n,m\le 3\ast {10}^5$，$0\le A_i,v\le 1000$

key: 离线排序 + 合并答案区间

对于单个 v，删去所有小于 v 的数后，序列分成若干个区间，合法答案一定包含在这些区间之中，计算平凡。

离线询问，按 v 从大到小排序，每次修改 v 相当于合并区间。

Day 2

训练题

冻结

给定平面上 n 个点，m 次询问求距离小于等于 $R_i$ 的最大连通块。

数据范围 $T\le 100,n\le 100,m\le 1000$

key: 离线 + 并查集

把距离排序一下，瞎搞就行。

灵魂宝石

初始有 m 颗宝石，每天减少一颗宝石，没有宝石就会死。

现在有 n 个 boss，描述为 $(t_i,p_i,w_i)$。
在第 $t_i$ 天，可以打 boss，也可以不打。
若挑战：

1. 先 失去一颗宝石
2. $p_i$ 的概率成功，获得 $w_i$ 颗宝石（若当前宝石数大于 m，自动变成 m）
3. $1-p_i$ 的概率失败，立即死亡

钦定一个挑战选择，最大化存活天数的期望，输出这个期望值。

数据范围 $n\le 300,m\le 100$

key: 倒推概率dp

$f[i][j]$ 表示第 i 个 boss，当前有 $j$ 颗宝石，期望下最大存活天数。

若不打 $f[i][j]\leftarrow \{\begin{array}{ll}f[i+1][j-(d[i+1]-d[i])]& j\ge d[i+1]-d[i]\\ d[i]+j& otherwise\end{array}$
若打 $f[i][j]\leftarrow (1-p[i])\ast d[i]+p[i]\ast f[i+1][min(m,j-1+w[i])]$。

孵化者

n 个人，每人两个 bool 属性 $(g,p)$，m 对关系 $(i,j)\in R$

按顺序操作：

1. 赋值 $g_i\leftarrow True$
2. $\mathrm{\forall }{g}_i|p_i,(i,j)\in R,p_j\leftarrow True$

可以操作任意次，最大化 $g_i=True\mathrm{\&}{p}_i=Fause$ 的数量。

数据范围 $T\le 100,n\le 50,m\le 1000$

建有向图，两个条件：

1. 若 i 可以到达 j，则 i,j 只能选一个
2. 环上的点一定不选

key: DAG 的最大独立集等于最小可相交路径覆盖

证明显然，一条路径只能选一个点。

在原图中算一下连通性，若 i 可以到达 j ，则在二分图中连边。答案是有效点数 $-$ 最大匹配。

Day 3

训练题

串匹配

给 n 个模式串和 m 个母串，对于每个模式串，输出是否出现过；对于每个母串，输出出现了多少（个 $\cdot$ 次）模式串。

数据范围：$\sum |T|\le 5\times {10}^5,\sum |S|\le {10}^6$

key：AC 自动机

宝石迷阵

纯模拟，不说了

*加权 n 皇后

给定 n*n 方格，每个格子上有权值。放 n 个皇后，最大化皇后所在格子的权值和。

数据范围：$n\le 3000$

一些可能性：Dancing-Links(X-links)，模拟退火$\dots$

讲课

搜索和非确定性算法

Day 4

训练题

有向图

n 个有向图，开始所有棋子在 1 号点，每次选一个棋子移动，不能移动者输。问是否有先手必胜策略，并给出第一步的某个可行方案。

key: SG 函数

组合数

求 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})modQ$ 的值。

数据范围 $n,Q\le 2\times {10}^9,m\le 2\times {10}^5$

第一眼你可能想使用 exlucas 定理，但是 $O(Q+\log Q)$ 是不能接受的。

突破口在非常小的 m，考虑写成 $\frac{n^{\underset{―}{m}}}{m!}$ 的形式，于是分子分母都只有 2e5 个数。

暴力：质因数分解，对每个质因数求 $m!$ 中它的次数，在分母中直接约去，最后乘起来即可。复杂度 $O(m\log m)$

std：应用 exlucas 的思想，先中国剩余定理拆开再算同余式。

买零食

类似二维偏序查找的一个东西（？

二分、st表等瞎搞一下即可。

Day 5

训练题

*基因测序

给定 n 个长度不超过 64 的 A T G C 模式串，求最短的母串，包含所有模式串。

数据范围 $n\le 1.5\times {10}^5$

常规的，我们使用 AC 自动机上状压 dp 来解决这个问题。
但是数据范围并不允许

基因对齐

求两个字符串的最长公共子序列。

数据范围 $|S|\le {10}^5$

直接使用空间 O(n)，时间 O(n^2) 的 dp，跑大约 400s

基因发现

给定一个文本串，求最长的出现至少 3 次的子串。

数据范围 $|S|\le {10}^5$

key：二分 + hash

若存在长度为 k 的合法子串，则一定存在长度为 $k-1,k-2,\dots ,1$ 的，故可以二分答案，转化为判断是否存在长为 k 的子串。

显然，长度为 k 的子串只有 $O(n)$ 个，利用 hash，直接判断是否存在某个值出现 3 次即可。

预处理前缀 hash 值，就可以 O(1) 查询任意子串的 hash。

复杂度 $O(n\log n)$

Day 6

训练题

路径排序（Luogu 5353 树上后缀排序）

key：基数排序

利用 SA 中的基数排序思想，倍增的排序就好了。
Luogu 5353 还需考虑去重

后两题太过诡异，跳过好了。

结业测试

骑士的旅行

一棵 n 个点的树，上面有 m 个 boss $(p_i,w_i)$。支持单点修改位置和武力值，询问路径上武力值前 K 大的 boss 是谁。

数据范围 $n,m\le 4\times {10}^4,Q\le 8\times {10}^4,K\le 20$

key: 树剖 + 线段树

k 很小，故可以线段树暴力维护，复杂度 $O((n+Q)k\log n)$

树的同构

给 m 棵 n 个点的有根树（无根树），判断它们的同构关系。

数据范围 $n,m\le 50$

key1：AHU 树的最小表示法（括号序）

每棵树都可以转化成若干个 dfs 括号序列，其中字典序最小的是最小表示法。

定理：最小表示法相同的两棵树同构。

于是直接求最小表示法就好了，复杂度 $O(n^{2}m)$

key2：树 hash

找一种不会被卡的哈希方式，直接比较哈希值就可以了。

复杂度可以做到 $O(nm\log n)$

一种较好的哈希方式是 $f(S)=(c+\sum _{x\in S}g(x))modP$

c 是常数，随便设一个就行。g 是整数到整数的映射，最好不用多项式，可以用类似 xor shift，xor 完再随机异或一个常数。

糖果

n 行 m 列表格，填 1 ~ k 的数。要求：

1. 每行单调不减
2. 任意两行不完全相同

问有多少种不同的填写方案，答案模 P 输出（不保证 P 是质数）。

数据范围 $n,m\le {10}^5,k,P\le 2\times {10}^9$

key: 插板法 + 组合数取模

只需知道每个数有几个，就可以排出一行的方案，有 $M=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k-1}{m-1})$ 种。故 n 行的方案是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{n})$ 种。

于是我们可以使用 D4T2 的方法计算这两个数。

隐身术

给定两个串A，B。请问B中有多少个非空子串和A的编辑距离不超过K？

• 子串：B中连续的一段，不同位置算作多个。
• 编辑距离：把一个串变成另一个串需要的最小操作次数，每次操作可以插入、删除或者替换一个字符。

数据范围 $|A|+|B|\le {10}^5,K\le 5$

key：SA + 暴搜跳 lcp

枚举起点，每次跳到一个需要修改的位置，结束后记录一下个数。

复杂度只有 $O(n\log n+n{3}^k)$