ABC344G 题解

ABC344G 题解

给定平面上 $n$ 个点和 $q$ 条直线，问对于每条线，有多少点在它上方。

形式化的，对于直线 $y=ax+b$ 统计有多少点 $(x,y)$ 满足 $y\ge ax+b$，即 $-ax+y\ge b$。故我们可以将所有点按照 $-ax+y$ 排序，从而利用二分简单的得出结果。

但是我们显然不可能暴力进行排序，本题重点在于优化。

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key：对于每对点，它们的先后顺序只可能反转一次

证明：设点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$

• 若 $x_1=x_2$，显然顺序只与 $y_1,y_2$ 有关，不会改变
• 否则，设当前斜率为 $A$，满足 $-A{x}_1+y_1<-A{x}_2+y_2,x_1<x_2$
  $\to A(x_2-x_1)<(y_2-y_1)\to A<\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
  如果反转，则说明 $A<\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}<A^{\prime }$
  显然，当 $a$ 从小到大排序时，只会有一次反转

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现在解法就变得显然了。

1. 将所有直线按 $a$ 从小到大排序，初始所有点按字典序排序
2. 预处理每对点会在哪个 $a$ 反转顺序，塞进优先队列
3. 顺序处理每条直线，先反转所有应该反转的点，再二分答案

复杂度分析：

1. $O(q\log q+n\log n)$
2. $O(n^2\log n)$
3. $O(q\log n)$

总复杂度为 $O(q(\log q+\log n)+n^2\log n)$

极限复杂度大概 $6.6\times {10}^8$，但时限 10s，所以能过。

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tricks：

1. 改写式子，分离变量
2. 利用单调性，排序的更新可以与询问次数无关