01trie

01 Trie

字符集为 $\{0,1\}$ 的字典树 Trie

一般用于解决异或相关问题

---

基本问题

给定数集 $S$ 和数 $x$，求 $max\{x\oplus S_i\}$。

从高到低将集合 $S$ 中的数插入 Trie（注意高位要补齐）。

从根节点开始，尽量选和 $x$ 当前位不同的，计算答案。

容易证明这一定是最大值。

时空复杂度 $O(|S|\log S_i)$

int tot=0;
int son[N*35][2];
inline void build(LL x){
	int pos=0;
	for(int i=33;i>=0;i--){
		int bit=(x>>i)&1;
		if(!son[pos][bit]) son[pos][bit]=++tot;
		pos=son[pos][bit];
	}
}
inline LL query(LL x){
	int pos=0;LL ans=0;
	for(int i=33;i>=0;i--){
		int bit=(x>>i)&1;
		if(son[pos][bit^1]) 
			pos=son[pos][bit^1],ans+=(1ll<<i);
		else pos=son[pos][bit];
	}
	return ans;
}

---

变式 0

给定数集 $S$ 和数 $x$，求 $min\{x\oplus S_i\}$。

很简单，每次尽量选和 $x$ 当前位相同的就好。

---

变式 1-1

给定数集 $S$，求两两最大异或和。

对每个数都做一次基本问题就好了。

因为自己异或自己是 $0$，不影响答案，所以预处理 01Trie，查询取最大值就结束了。

复杂度还是 $O(|S|\log S_i)$

---

变式 1-2

给定序列 $A$ ，求 $ma{x}_{1\le l\le r\le n}\{A_l\oplus \cdots \oplus A_r\}$。

根据异或的性质，可以推出

$\begin{array}{rl}{A}_l\oplus \cdots \oplus A_r& =(A_1\oplus \cdots \oplus A_{l-1})\oplus (A_1\cdots \oplus A_r)\\ & =S_{l-1}\oplus S_r\end{array}$

那么就转化成对于 $A$ 的前缀和 $S$ 做变式 1-1。

注意！$S_0$ 也要加入 Trie！

---

扩展 1

给定数集 $S$ 和数 $x$，求第 k 大异或和。

类似权值线段树求区间第 k 小的思路。

对 Trie 上每个点，记录子树大小（出现次数），让 k 跟和 x 不同的子树比大小，小就走和 x 不同；大就走和 x 相同，k 减去不同的子树大小。

int tot=0;
int son[N*35][2],siz[N*35];
inline void build(LL x){
	int pos=0;
	for(int i=33;i>=0;i--){
		int bit=(x>>i)&1;siz[pos]++;
		if(!son[pos][bit]) son[pos][bit]=++tot;
		pos=son[pos][bit];
	}
	siz[pos]++;
}
inline LL query(LL x,LL rk){
	int pos=0;LL ans=0;
	for(int i=33;i>=0;i--){
		int bit=(x>>i)&1;
		if(!son[pos][bit^1]) pos=son[pos][bit];
		else if(rk<=siz[son[pos][bit^1]]) 
			pos=son[pos][bit^1],ans|=1ll<<i;
		else rk-=siz[son[pos][bit^1]],pos=son[pos][bit];
	}
	return ans;
}

---

扩展 1-1

给定数集 $S$，求两两第 k 大异或和。

优先队列维护对每个数来说，异或和第 t 大（初始 t 为 1）

每次取出堆顶，将第 t+1 大加入队列。

可以保证第 i 次取到的数是第 i 大。

由于每个异或和会统计两次（两数交换），所以第 2k 次取到的就是答案。

---

扩展 2

给定一棵带权树，求树上最大异或路径。

（某些人可能就想写树剖了，但你别急

记 $dis(i,j)$ 代表从点 i 到 j 的路径异或和。

由于根节点到 $lca(i,j)$ 的路径是重复的，所以 $dis(i,j)=dis(rt,i)\oplus dis(rt,j)$。

问题转化成给定数集求两两最大异或和。

---

01 Trie 是个挺神奇的东西qwq

如果有错误或者不清楚的地方欢迎评论/私信