四维空间浅谈

本文参考《从一到无穷大》（作者：George $\cdot$ Gamow）第 $4$ 章

笔者知识浅薄，只是阅后拙见。可能有错漏之处，望高明的读者赐教。

什么是四维空间

众所周知，我们生活的三维空间中，确定物体的位置需要 $3$ 个坐标：长，宽，高。

四维空间，就是有 $4$ 个维度。那么，第四维是什么？

让我们想象一个情境：

有一天，你放学回家，兴奋地跟爸爸说：

“今天在物理课上，老师带我们去实验室做了一个有趣的实验，告诉我们飞机是怎么飞起来的。”

你的这句话完整的描述了一个“事件”（请允许我在这里加引号，后面会解释的）。

爸爸是如何确定这个“事件”的？

通过时间和地点，爸爸就能准确地确定你说的是物理老师做实验，而不是保洁阿姨打扫卫生（~~做完实验后一片狼藉~~）。

“地点”从物理的角度可以理解为“事件”的三维空间坐标。

那么“时间”自然可以理解为“事件”的第四维坐标。

通过三维空间坐标+一维时间坐标，就可以在我们生活的时空中确定一个“事件”。

四维 = 三维空间 + 时间

作为三维空间中的生物，我们无法想象一个真正的四维空间。

根据刚才的定义，时间是第四个维度。

所以，我们可以把四维物体理解为 一个三维物体在一段特定时间内的状态集合。

这样的四维物体，就可以描述为一个“事件”。

（下文所有“立方体”均不考虑时间线的长度）

众所周知，三维立方体有 $8$ 个顶点， $12$ 条棱， $6$ 个面。

它的二维投影长这样：

~~原谅我可怜的geogebra水平~~

（这不是我们常见的样子，但是为了理解四维立方体的投影，用这个更好）

现在我们尝试着用时空观来重定义这个东西。

9:30，数学老师在黑板上画了一个二维正方形 $H I J K$ 。

10:00，值日生把它擦了。

这个在9:30~10：00存在的二维正方形其实就是一个三维立方体。

或者说，正方形在时间维度上移动一段距离，它经过的轨迹形成立方体。

上图中水平方向代表时间， $H I J K$ 是9：30的正方形， $H^{'} I^{'} J^{'} K^{'}$ 是10:00的正方形， $H H^{'}, I I^{'}, J J^{'}, K K^{'}$ 是时间线（第三维）。

~~这图看完应该懂了吧~~

接下来让我们开始幻想理解四维超立方体！

根据之前的经验，四维超立方体就是存在于特定时间的三维立方体。

5.1，数学老师让你做一个立方体模型（当然是三维的）。

6.1，你在一个奇怪的角落看到它，把它拆了并扔进垃圾桶。

于是我们有了一个四维超立方体（一个存在于5.1-6.1的三维立方体）

现在让我们来数一数这个四维超立方体有多少顶点、棱（线）和面。

点：5.1做出来的时候有 $8$ 个，6.1被拆的时候有 $8$ 个，一共 $16$ 个。非常显然。
线：5.1做出来的时候有 $12$ 条，6.1被拆的时候有 $12$ 条。在这一个月中， $8$ 个顶点分别引出 $1$ 条时间线，还有 $8$ 条。一共是 $32$ 条。
面：5.1做出来的时候有 $6$ 个，6.1被拆的时候有 $6$ 个。在这一个月中， $12$ 条边分别和顶点引出的 $2$ 条时间线组成 $1$ 个面，还有 $12$ 个。一共是 $24$ 个。