P8935 [JRKSJ R7] 茎 解题报告
Description
你有一棵 $n$ 个点的根节点为 $1$ 的有根树，现在你要对这棵树进行剪枝，每次你可以选择一个还未被剪掉的节点 $u$ 进行操作，然后剪掉 $u$ 的子树所有点（包括 $u$）。当且仅当你剪掉 $1$ 时，操作停止。
你知道 $1$ 到 $x$ 这条路径是这棵树的茎，需要特殊处理。所以你需要在第 kk 次剪枝时对 $x$ 进行操作，而非仅仅将其剪掉，即你不能在第 $k$ 次及以前对其祖先进行操作使其被连带剪掉。
求有多少种不同的操作序列，两个操作序列不同当且仅当长度不同或存在一次操作 $i$ 使得两操作序列在第 $i$ 次时选择的 $u$ 不同。输出答案模 $10^9+7$。
Solution
题解区里的 $O(n^2)$ 做法，先膜拜一下。
先看部分分， 发现有 $x=1$ 和 $k=1$ 的subtask，因此我们先对每颗子树做一遍树形背包，用$f_{i,j}$ 表示以 $i$ 为根节点的子树进行 $j$ 次操作的方案树，贴个代码。
inline void dfs(int u, int F) { fa[u] = F; f[u][0] = 1; for (int i = head[u]; i; i = Next[i]) { int v = ver[i]; if (v == F) continue; dfs(v, u); for (int j = siz[u]; j >= 0; -- j) for (int k = siz[v]; k; -- k) f[u][j+k] = (f[u][j+k] + f[u][j] * f[v][k] % mod * C(j+k, k)) % mod; siz[u] += siz[v]; } for (int i = siz[u]; i >= 0; -- i) f[u][i+1] = (f[u][i+1] + f[u][i]) % mod; siz[u] ++; }
我们将茎上的点和它的子树区分开来， 然后在做一遍背包 $w_i$。这个可以每次做到茎上的一个点再调用计算。
inline int get(int u) { int nc = 0; memset(w, 0, sizeof w); w[0] = 1; for (int i = head[u]; i; i = Next[i]) { int v = ver[i]; if (flag[v]) continue; for (int j = nc; j >= 0; -- j) for (int k = siz[v]; k; -- k) w[j+k] = (w[j+k] + w[j] * f[v][k] % mod * C(j+k, k)) % mod; nc += siz[v]; } return nc; }
我们从跟 $1$ 开始往 $x$ 开始 dp。
用 $g_{i,j}$ 表示选到茎上的节点 $i$， $j$ 次操作留着的方案数， 最终答案就是 $g_{x, k-1}$。
考虑 $g_{i,j}$ 的转移。
从 $fa$ 转移到 $i$ 时，有两种情况，对 $i$进行操作或者跳过，如果跳过，直接拷贝即可，如果操作，$g_{i,j}$ 可以从 $g_{fa, t}, t >= j$ 转移过来，用后缀和优化。
然后 $i$ 自身的转移，就是子树背包。
这道题就做完了。
Code
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long inline int read() { int x = 0, f = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -f; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48); c = getchar();} return x * f; } const int N = 505, mod = 1e9 + 7; int n, k, P; int fac[N], inv[N]; inline int qpow(int a, int b) {int res = 1; for (; b; b >>= 1, a = a * a % mod) if (b & 1) res = res * a % mod; return res;} inline int C(int x, int y) {if (x < y || y < 0) return 0; return fac[x] * inv[x-y] % mod * inv[y] % mod;} int tot, head[N], Next[N<<1], ver[N<<1]; inline void add_edge(int u, int v) {ver[++tot] = v; Next[tot] = head[u]; head[u] = tot;} int fa[N], f[N][N], siz[N]; inline void dfs(int u, int F) { fa[u] = F; f[u][0] = 1; for (int i = head[u]; i; i = Next[i]) { int v = ver[i]; if (v == F) continue; dfs(v, u); for (int j = siz[u]; j >= 0; -- j) for (int k = siz[v]; k; -- k) f[u][j+k] = (f[u][j+k] + f[u][j] * f[v][k] % mod * C(j+k, k)) % mod; siz[u] += siz[v]; } for (int i = siz[u]; i >= 0; -- i) f[u][i+1] = (f[u][i+1] + f[u][i]) % mod; siz[u] ++; } int w[N], flag[N]; inline int get(int u) { int nc = 0; memset(w, 0, sizeof w); w[0] = 1; for (int i = head[u]; i; i = Next[i]) { int v = ver[i]; if (flag[v]) continue; for (int j = nc; j >= 0; -- j) for (int k = siz[v]; k; -- k) w[j+k] = (w[j+k] + w[j] * f[v][k] % mod * C(j+k, k)) % mod; nc += siz[v]; } return nc; } int nc, p[N], g[2][N]; signed main () { n = read(); k = read(); P = read(); fac[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; ++ i) fac[i] = fac[i-1] * i % mod; inv[n] = qpow(fac[n], mod - 2); for (int i = n; i; -- i) inv[i-1] = inv[i] * i % mod; for (int i = 1; i < n; ++ i) { int u = read(), v = read(); add_edge(u, v); add_edge(v, u); } dfs(1, 0); int x = P, tc = 0; while (x) flag[x] = 1, p[++tc] = x, x = fa[x]; reverse(p + 1, p + 1 + tc); get(1); for (int i = 0; i < n; ++ i) g[1][i] = w[i]; for (int i = 2; i <= tc; ++ i) { int now = i & 1, pre = now ^ 1, u = p[i], nc = get(u); memcpy(g[now], g[pre], sizeof g[now]); int sum = 0; for (int j = n - 1; j >= 0; -- j) { sum = (sum + g[now][j]) % mod; if (i == tc) g[now][j] = 0; g[now][j] = (g[now][j] + sum) % mod; } for (int j = n - 1; j >= 0; -- j) for (int k = nc; k; -- k) g[now][j+k] = (g[now][j+k] + g[now][j] * w[k] % mod * C(j+k, k)) % mod; } printf("%lld\n", g[tc&1][k-1]); return 0; }
