红黑树(RB Tree) - 学海一扁舟

红黑树(RB Tree)

======================= **基础知识** =======================

红黑树的基本性质：（红黑树是弱化版的AVL 树）

　　1. 每个节点非黑即红；

　　2. 根节点是黑色；

　　3. 叶节点(NIL(Null-pointer to objective))是黑色的； 在示意图中没有画出来的NIL！！在删除操作中很重要，删除操作中主要就是处理双重黑失衡；

　　4. 如果一个节点是红色，则它的两个子结点都是黑色的；

　　5. 从根节点出发到所有叶节点路径上，黑色节点数量相同；

　　==添加上NIL 节点后的=>　

平衡调整法门：（前置知识点：AVL 树中的左旋/右旋都是完美保证AVL 树性质的；）

　　1. 插入调整站在 祖父节点 看

　　2. 删除调整站在 父节点 看；

　　3. 调整前后都要保证所站的节点（包含）向下看时候，黑色节点的数量是相等的；

　　4. 根据当前情况中确定颜色的节点，以及满足条件3的前提下，进行调整；

红黑树操作调整过程：

　　插入调整：结构化思维！！

　　前置问题 Q：插入新节点是什么颜色？黑色？红色？

　　　　　　　　A：黑色一定会导致当前红黑树失衡，因为当前插入路径的黑色节点数量一定 > 其他叶子根节点到根节点中黑节点数目；

　　　　　　　　　　红色：不一定会引起失衡；只有当插入节点的上一节点是红色节点时，会导致失衡；

　　调整原则： （从祖父节点（包含）向下看）调整之前路径上黑节点数量 要等于 调整后黑节点数量！！！=

　　　　　　（结构化思维，当前子树只是大树中一部分，改变当前子树黑节点数目，有可能会导致整个大树失衡）；

　　情况1：叔叔节点是红色；

　　　　　　从祖父节点15往下看，父节点20/叔叔节点1为红色，当前节点x = 18为红色（这里其实有4种小情况，x 可以在叔叔节点1 的左右子结点；父节点20 的左右子结点）；

　　　　　　平衡调整方案：祖父节点15 变成红色，父节点/叔叔节点变黑；

　　　　　　　　　　　　　　如果祖父节点是根节点，那就直接把根节点变黑；不是根节点，就让下一组调整；

　　情况2： 叔叔节点25是黑色节点；

　　　　　　对于这种情况下，20/15/25/10/19/5/13 的颜色是确定的；17 是不确定；其中还分为4 种小情况： LL/LR/RL/RR不同类型；

　　　　　　平衡调整方案：对于这四种情况，采用AVL树中的类似的处理方式；

　　　　　　　　　　　　　　旋转处理后，对于两个红色节点，可以采用的操作：红色上浮/红色下沉；

　　　　利用上面的规则，做一次顺序插入1，2 ... 7 的操作，使用上浮方式；

　　　　　　===>　　

　　删除调整：结构化思维；

　　前置问题Q：删除什么样的节点，会引发红黑树的失衡；

　　　　　　A：删除度为0 的黑色节点的时候，会引发红黑树的失衡；被删除黑节点，导致该路径少了一个黑色；此时将NIL 节点作为双重黑节点。

　　　　　　度为1 红色，不存在，度为0 红色，直接上来，变黑色；度为1 的黑色，下面只有可能是红色节点；

　　删除发生时候，失衡的情况（这里主要考虑度0/1 的节点；对于度2 的红/黑色节点，都是找到该树中对应的前驱/后置节点，然后将问题转化为删除前驱/后置节点，这些节点一定是度0/1）；

　　调整重点在于：处理双重黑的节点；保证从父节点（包含）向下看，调整前后的黑色节点数量相同；

　　情况1：从父节点43向下看， 双重黑节点x(95)，其兄弟节点9是黑色节点，并且兄弟节点的子结点5/13都是黑色节点；（造成这种情况：95 黑色，下面是2个黑色子结点，然后删除了右边黑色子结点后，右边成了双重黑，然后平衡调整成这样的；这也是情况1）；

　　　　　　根据上面的条件，蓝框中的点都是确定颜色的点；

　　　　　　平衡调整方案：95/9 节点同时-1， 43 节点+ 1；此时43节点的下面两个节点满足RBT 的要求；

　　情况2：从父节点38向下看，双重黑节点28，兄弟节点51 为黑色，其子结点有红色节点72，并且红色节点72与其兄弟节点在同一侧；此时48节点是有可能为红色节点；(造成这种情况，最直接就是度2的28节点下面，是两个黑色节点（度0），然后删除了左节点，做了一次平衡调整）；

　　　　　　此时是RR 类型；与此类似的还有LL 类型；

　　　　　　根据上面条件，蓝框中是确定颜色的节点；

　　　　　　平衡调整方案： RR 失衡，先进行大左旋，51改成原根节点颜色，38/72 改成黑色， 28恢复成黑节点；

　　情况3：从父节点38向下看，节点28为双重黑，兄弟节点72 为黑色，其子结点51有红色，且红色与其兄弟节点不在一侧，即节点85一定是黑色节点。（产生这种失衡可能与情况2中类似）；

　　　　　　此为RL类型；（与此类似的还有LR 类型）

　　　　　　根据上面条件，蓝框中是确定颜色的节点；

　　　　　　平衡调整方案：先小右旋，变成RR类型，然后51/72 互换颜色，变成RR 类型失衡，然后再按照RR方式调整；

　　情况4: 上面讨论的都是叔叔节点是黑色，如果叔叔节点为红色的情况；

　　从父节点51向下看，双重黑48，兄弟节点72为红色；

　　蓝色框内为确定颜色节点；

　　平衡调整方案：将树左旋，然后互换当前72与原来51 根节点颜色；

　　　　　　　　此时失衡类型变成从红色节点51向下看，双重黑48，兄弟节点64为黑色；有可能为上面3种情况中任意一种可能；

　　对于失衡的调整总结：几个调整中用到的技巧：　保证调整前后黑色节点数量不变；（重要原则）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一个根节点同时影响左右两个树，所以根变红，左右子树中分别有一个节点翻黑；根变黑，左右子树中各有一个翻红；（插入中用）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　左旋时候，左子树树高+1，右子树树高-1；右旋反之；但是对于黑色节点数，有可能使一边不变，另一边-1，差1这个树的这个正好给双重黑去重（删除），或者红变黑（插入）；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　插入调整中，能将两个子树红色同时往根节点移动，就直接移（插入情况1）；叔叔结点为黑的，就把叔叔节点旋转下去(黑节点树不变)，父节点子树黑节点差一个，可以变黑；(插入情况2）；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　删除调整中，对于可以直接左右子树一起-1 方式，根节点+1，就直接操作，将失衡问题向上移；(删除情况1）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　因为子树中有红色节点，不能左右子树直接-1 操作的（删除情况3/4），通过左右旋，然后变换节点颜色，变成RR/LL类型；再通过旋转，将某边子树中黑节点数都-1，然后都需要一个红变黑（删除情况2）；

======================= **代码演示** =======================

  1 #include <iostream>
  2 using namespace std;
  3 #define NIL &(Node::__NIL)
  4 
  5 
  6 struct Node {
  7     int key;
  8     int color; //0 red, 1 blank, 2 double blank;
  9     Node *lchild, *rchild;
 10     static Node __NIL;
 11 
 12     Node(int key = 0, int color = 0, Node *left = NIL, Node *right = NIL):
 13         key(key), color(color), lchild(left), rchild(right) {}
 14 };
 15 
 16 Node Node::__NIL(0, 1);   //NIL 叶子节点为黑色
 17 
 18 Node *getNewNode(int key) {
 19     return new Node(key);   //默认插入红色节点，黑色必失衡
 20 }
 21 bool has_red_child(Node *root) {
 22     return root->lchild->color == 0 || root->rchild->color == 0;
 23 }
 24 
 25 Node *left_rotate(Node *root) {
 26     Node *temp = root->rchild;
 27     root->rchild= temp->lchild;
 28     temp->lchild = root;
 29     return temp;
 30 }
 31 
 32 Node *right_rotate(Node *root) {
 33     Node *temp = root->lchild;
 34     root->lchild = temp->rchild;
 35     temp->rchild = root;
 36     return temp;
 37 }
 38 
 39 Node *insert_maintain(Node *root) {  //从祖父节点向下看，判断失衡
 40     int flag = 0;   //1: left , 2 right
 41     if(root->lchild->color == 0 && has_red_child(root->lchild)) flag = 1;
 42     if(root->rchild->color == 0 && has_red_child(root->rchild)) flag = 2;
 43     if(flag == 0) return root;
 44 
 45     //case 1 :
 46     if(root->lchild->color == 0 && root->rchild->color == 0) {
 47         root->color = 0;
 48         root->lchild->color = root->rchild->color = 1;
 49         return root;
 50     }
 51 
 52     if(flag == 1) {
 53         //LR
 54         if(root->lchild->rchild->color == 0) root->lchild = left_rotate(root->lchild);
 55         //LL
 56         root = right_rotate(root);
 57     } else {
 58         //RL
 59         if(root->rchild->lchild->color == 0) root->rchild = right_rotate(root->rchild);
 60         //RR
 61         root = left_rotate(root);
 62     }
 63 
 64     //红色上浮(或下沉）
 65     root->color = 0;
 66     root->lchild->color = root->rchild->color = 1;
 67     return root;
 68 }
 69 
 70 Node *__insert(Node *root, int key) {
 71     if(root == NIL) return getNewNode(key);
 72     if(root->key == key) return root;
 73     if(key < root->key) root->lchild = __insert(root->lchild, key);
 74     else  root->rchild = __insert(root->rchild, key);
 75 
 76     root = insert_maintain(root);
 77     return root;
 78 }
 79 
 80 Node *insert(Node *root, int key) {
 81     root = __insert(root, key);  
 82     root->color = 1; //为了保证根节点为黑色
 83     return root;
 84 }
 85 
 86 Node *predecessor(Node *root) {
 87     Node *lp = root->lchild;  //只有度2调用，一定有左右子孩子
 88     while(lp->rchild != NIL) lp = lp->rchild;
 89     return lp;
 90 }
 91 
 92 Node *erase_maintain(Node *root) {
 93     //不需要下面特判，是因为该节点在函数被调用前已经被特判过了
 94     //if(root == NIL) return root;
 95     //没有失衡
 96     if(root->lchild->color != 2 && root->rchild->color != 2) return root;
 97     
 98     //失衡，兄弟节点为红色：
 99     if(has_red_child(root)) {
100         int flag = 0;  //1: 右失衡，左红色； 2 ： 左失衡，右红色
101         root->color = 0;
102         if(root->lchild->color == 0) root = right_rotate(root), flag = 1;
103         else root = left_rotate(root), flag = 2;
104         root->color = 1;
105         if(flag == 1) root->rchild= erase_maintain(root->rchild);
106         else root->lchild= erase_maintain(root->lchild);
107         return root;
108     }
109 
110     // 失衡，但是兄弟节点为黑色，且子节点也都为黑色
111     if((root->lchild->color == 1 && !has_red_child(root->lchild)) ||
112                 (root->rchild->color == 1 && !has_red_child(root->rchild))){
113         root->lchild->color -= 1;
114         root->rchild->color -= 1;
115         root->color += 1;
116         return root;
117     }
118 
119     //失衡，兄弟节点为黑色，而且有一个红色子节点
120     if(root->lchild->color == 2) {  //左节点失衡
121         root->lchild->color = 1;  //先把失衡的恢复平衡
122         //RL 型
123         if(root->rchild->rchild->color != 0) {  //重要点，必须是同一侧有个红色点，才能保证旋转以后，变色，保证这一侧黑色节点数量不变
124             root->rchild->color = 0;
125             root->rchild = right_rotate(root->rchild);
126             root->rchild->color = 1;               //转换成RR 型
127         }
128         //RR 型处理
129         root->rchild->color = root->color;
130         root = left_rotate(root);
131     } else {//右节点失衡
132         root->rchild->color = 1; //先把节点恢复平衡
133         //LR
134         if(root->lchild->lchild->color != 0) { //重要点：将后面大右旋后左子树左边节点里，黑色节点数量保证不变
135             root->lchild->color = 0;
136             root->lchild = left_rotate(root->lchild);
137             root->lchild->color = 1;  //转换成LL
138         }
139         root->lchild->color = root->color;
140         root = right_rotate(root);
141     }
142     root->lchild->color = root->rchild->color = 1;
143     return root;
144 
145 }
146 
147 Node *__erase(Node *root, int val){
148     if(root == NIL) return root;
149     if(val < root-> key) root->lchild = __erase(root->lchild, val);
150     else if(val > root->key) root->rchild = __erase(root->rchild, val);
151     else { //当前节点 = val
152         //度为2
153         if(root->lchild != NIL && root->rchild != NIL) {
154             Node *pd = predecessor(root);
155             root->key = pd->key;
156             root->lchild = __erase(root->lchild, pd->key);   //上3行也可以是右子树找值替换
157             return root;
158         } else {  //度为0, 1
159             Node *temp = (root->lchild == NIL ? root->rchild : root->lchild);
160             temp->color += root->color;
161             delete root;
162             return temp;
163         }
164     }
165     //调整只在父节点往下看，所以对于当前节点为删除节点不需要调整
166     return erase_maintain(root);
167 }
168 
169 Node *erase(Node *root, int val) {
170     root = __erase(root, val);
171     root->color = 1; 
172     return root;
173 }
174 
175 
176 
177 void clear(Node *root) {
178     if(root == NIL) return;
179     clear(root->lchild);
180     clear(root->rchild); 
181     printf("clear the node (%d | %d)", root->key, root->color);
182     delete root;
183     return;
184 }
185 
186 void output(Node *root) {
187     if(root == NIL) return;
188     printf("(%d|%d, %d %d)\n", root->color, root->key, root->lchild->key, root->rchild->key);
189     output(root->lchild);
190     output(root->rchild);
191     return;
192 }
193 
194 int main()
195 {
196     int op, val;
197     Node *root = NIL;
198     while(cin >> op >> val){
199         switch(op) {
200             case 1:root = insert(root, val); break;
201             case 2: root = erase(root, val); break;
202         }
203         cout << "\n======== RB tree print start========\n";
204         output(root);
205         cout << "======== RB tree print end========\n";
206     }
207     return 0;
208 }

RB_Tree实现代码

======================= **经典问题** =======================

1. map/set 底层实现使用了红黑树；所以对于需要按照一定顺序查找数值就很方便了；

　　981. 基于时间的键值存储

 1 class TimeMap {
 2 public:
 3     map<string, map<int, string> > infor;
 4     TimeMap() {}
 5 
 6     void set(string key, string value, int timestamp) {
 7         infor[key].insert(make_pair(timestamp, value));
 8         return;
 9     }
10 
11     string get(string key, int timestamp) {
12         if(infor.find(key) == infor.end()) return "";
13         map<int, string> &temp = infor[key];
14         if(temp.find(timestamp) != temp.end()) return temp[timestamp];
15 
16         string ret = "";
17         temp.insert(make_pair(timestamp, ""));
18         auto cur = temp.find(timestamp);
19         if(cur != temp.begin()) ret = (--cur)->second, ++cur;
20         temp.erase(cur);
21         return ret;
22     }
23 };
24 
25 /**
26  * Your TimeMap object will be instantiated and called as such:
27  * TimeMap* obj = new TimeMap();
28  * obj->set(key,value,timestamp);
29  * string param_2 = obj->get(key,timestamp);
30  */

利用RB Tree有序性质

2. RB Tree 也处处体现了结构化思维；

　　117. 填充每个节点的下一个右侧节点指针 II : 善于利用当前结构的性质，以及递归中已经处理好的信息；

 1 /*
 2 // Definition for a Node.
 3 class Node {
 4 public:
 5     int val;
 6     Node* left;
 7     Node* right;
 8     Node* next;
 9 
10     Node() : val(0), left(NULL), right(NULL), next(NULL) {}
11 
12     Node(int _val) : val(_val), left(NULL), right(NULL), next(NULL) {}
13 
14     Node(int _val, Node* _left, Node* _right, Node* _next)
15         : val(_val), left(_left), right(_right), next(_next) {}
16 };
17 */
18 
19 class Solution {
20 public:
21     Node *layer_connect(Node *r) {
22         if(!r) return nullptr;
23         Node pre, *nxt = &pre;
24         while(r) {
25             if(r->left) nxt->next = r->left, nxt = nxt->next;
26             if(r->right) nxt->next = r->right, nxt = nxt->next;
27             r = r->next;
28         }
29         return pre.next;
30     }
31 
32     Node* connect(Node* root) {
33         Node *p = root;
34         while(p = layer_connect(p));
35         return root;
36     }
37 };

结构化思维

3. 利用RB Tree 排序的特性：

　　220. 存在重复元素 III :区间最小距离，双指针 + 排序；因为存在重复元素，对于STL 中map/set 必须要strict weak ordering；

　　用打包结构，要注意CMP 过程，避免重复元素被覆盖；或者用map, key 记录元素，value 记录个数，注意erase 情况；

class Solution {
public:
    void del_num(map<int,int> &m, int num) {
        m[num] -= 1;
        if(!m[num]) m.erase(num);
        return;
    }
    bool checkPass(map<int, int> &m, int num, int t) {
        map<int, int>::iterator it = m.find(num);
        if(it != m.begin()){
            if((long long) num - (long long)((--it)->first) <= t) return true;
            ++it;
        }
        if(++it != m.end() && ((long long)(it->first) - (long long)(num) <= t)) return true;
        return false;
    }

    bool containsNearbyAlmostDuplicate(vector<int>& nums, int k, int t) {
        map<int, int> mark;

        for(int i = 0, len = nums.size(); i < len; ++i) {
            if(i - k > 0) del_num(mark, nums[i - k - 1]);

            mark[nums[i]] += 1;
            if(mark[nums[i]] > 1 || checkPass(mark, nums[i], t)) return true;
        }
        return false;

//打包两个数据
//    typedef pair<int,int> PII;
//        int l = 0, len = nums.size();
//        bool(*f1)(PII,PII) = [](PII a, PII b) {
//            if(a.second != b.second) return a.second < b.second;
//            return a.first < b.first;
//        };
//        set<PII, bool(*)(PII, PII)> arr(f1);
//        for(int i = 0; i < len; ++i) {
//            if(i - l > k) {
//                arr.erase(make_pair(l, nums[l]));
//                l++;
//            }
//            arr.insert(make_pair(i, nums[i]));
//            auto iter = arr.find(make_pair(i, nums[i]));
//            if(iter != arr.begin()){
//                iter--;
//                if((long long)nums[i] - (long long)(iter->second) <= t) return true;
//                iter++;
//            }
//            if(++iter != arr.end() && (long long)(iter->second) - (long long)nums[i] <= t) return true;
//        }
//        return false;
    }
};

利用排序

======================= **应用场景** =======================

STL 中 map/set 这类的容器的底层都是使用RB tree 来实现的；

posted on 2022-03-31 23:14 学海一扁舟阅读(242) 评论(0) 编辑收藏举报

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