[CSP校内集训]B（曼哈顿距离）

题意

长为\(n\)的线段上有\(m\)个点对\((l,r)\)，两点间的距离为\((r-l)\)；现在可以修一个连接\(x\)和\(y\)的长度为0的通道，要求所有点对中最远距离的最小

思路

显然答案满足单调性，二分一个\(mid\)，现在如果点对的距离已经\(\leq mid\)就不考虑了；否则它们必须经过这条通道\((x,y)\)，相当于对于所有这样的点对\((l,r)\)都有\(|x-l|+|y-r|\leq mid\)

将这个东西看做两点间的曼哈顿距离计算式；于是变成了判断一些中心点为\((l,r)\)的斜了45度的正方形（对角线长度为\(2\times mid\)）是否有交集

通过将坐标旋转45度（即将坐标乘上矩阵\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)），一个点\((x,y)\)变成\((x+y,y-x)\)，边的长度\(\times \sqrt{2}\)

于是正方形被拉正了，当成四条线求交集的范围就好了，见代码

代码还是很简单的

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define re register
#define Abs(x) ((x)>0?(x):(-(x)))
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 100000000;
int n,m,top;
struct Node { int x,y,d; } nd[N];

template <class T>
void read(T &x)
{
	char c; int sign=1;
	while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}
bool check(int mid)
{
	int u=inf,d=-inf,l=-inf,r=inf;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		if(nd[i].d<=mid) continue;
		u=Min(u,nd[i].y+mid);
		d=Max(d,nd[i].y-mid);
		r=Min(r,nd[i].x+mid);
		l=Max(l,nd[i].x-mid);
	}
	return (l<=r)&&(d<=u);
}
int main()
{
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
	read(n);read(m);
	int l=0,r=n,ans=n;
	for(re int i=1;i<=m;++i) read(nd[i].x) , read(nd[i].y) , nd[i].d=nd[i].y-nd[i].x;
	for(re int i=1;i<=m;++i)
	{
		int x=nd[i].x,y=nd[i].y;
		nd[i].x=y+x;
		nd[i].y=y-x;
	}
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)) ans=mid,r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}