[SHOI2015]超能粒子炮·改

题意

求\(\sum_{i=0}^{k} {C_n^i}\% 2333\) \(,(n,k\leq 10^{18})\)

思路

如果直接套卢卡斯还是比较容易想到分块求解的

由\(C_n^i = C_{n\%p}^{i\%p} \times C_{n/p}^{i/p}\)可知，\(i\%p\)相同的组合数另一部分分别是\(i/p,i/p+1,i/p+2...\)，这部分可以搓到一起

令\(S_n^k = \sum_{i=0}^{k}{C_n^i}\)具体来说，将这部分相同的部分放到一起，剩下的地方直接计算

相同的部分，后半部分可以递归计算：$$(\sum_{i=0}^{{p-1}{C_{n%p}}{i}})\times \sum_{i=0}^{{k/p-1}{C_{n/p}}{i}}$$

剩下的部分,组合数用卢卡斯定理计算：$$(\sum_{i=0}^{{k%p}{C_{n%p}}{i}}) \times C_{n/p}^{{k/p}=S_{n%p}}\times C_{n/p}^{k%p}$$

预处理出\(C\)和\(S\)即可递归计算，感觉有些边界问题，然而数据水都能过qwq

（嘴上解释不清楚，但是自己推起来很简单的）

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 2333;
int T;
ll n,k,C[2500][2500];
ll sum[2500][2500];//Sigma(C(i,0~j))
ll jc[2500],inv[2500];

template <class T>
void read(T &x)
{
	char c; int sign=1;
	while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}
void init()
{
	C[0][0]=C[1][0]=C[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=mod;++i)
	{
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;++j) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	}
	for(int i=0;i<=mod;++i)
	{
		sum[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=mod;++j) sum[i][j]=(sum[i][j-1]+C[i][j])%mod;
	}
}
ll lucas(ll n,ll m)
{
	if(n<m) return 0;
	if(!n||!m) return 1;
	return C[n%mod][m%mod] * lucas(n/mod,m/mod) %mod;
}
ll solve(ll n,ll k)//Sigma(C(n,0~k))
{
	if(!n) return 1;	
	if(n<mod&&k<mod) return sum[n][k];
	ll p=k/mod;//有mod组相同的 
	ll c=k-p*mod;//剩下的单独算 
	ll ans=0;
	if(p) ans += sum[n%mod][mod-1] * solve(n/mod,p-1)%mod;
	ans += sum[n%mod][c] * lucas(n/mod,p)%mod;
	return (ans%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
	init();
	read(T);
	while(T--)
	{
		read(n);read(k);
		printf("%lld\n",solve(n,k));
	}
	return 0;
}