[NOIP校内集训]不正常的国家

题意

给一颗根为1的点带权的树，点\(i\)的答案为所有简单路径的异或和的最大值，且这些路径的\(lca\)为\(i\)，求每个点的答案

思路

做这道题首先要知道树上任意一条简单路径的异或和最大值怎么求

由于求简单路径的异或和，套路性的记录一个点到根节点的路径异或和，记为\(w[i]\)，那么一条路径的异或和即为\(w[i]\) ^ \(w[j]\) ^ \(a[lca(i,j)]\)

假设现在要求\(ans[i]\)（以i为\(lca\)时的所有路径），即需要处理所有经过了\(i\)点的路径，容易想到建一颗\(trie\)树，将i的每一颗子树在\(tire\)树中查询，然后向\(trie\)中加入这颗子树，就可以统计所有的过\(i\)点的路径（这也是处理过一个点的所有路径的常见套路吧）

在上述过程中，一颗子树的每一个节点都\(ask\)了一次\(ins\)了一次，处理所有子树的复杂度即为\(O(nlog^2n)\)~\(O(n^2logn)\)

发现在处理一颗子树时建的\(trie\)树可以供其父亲直接使用，于是将所有儿子中最大的子树建的\(trie\)传给父亲即可，这个最大的子树即重儿子，这样做的话每个重儿子总共只会被处理一次，复杂度不会依赖于重儿子，所以就降至\(O(nlog^2n)\)（就是启发式合并）

当然这玩意也可以叫dsu on tree

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,a[N],ans[N];
int size[N],son[N],w[N];
int ndsum,root[N],nxt[N*31][2],temp=30;

struct Edge
{
	int next,to;
}edge[N<<1];int head[N],cnt=1;
void add_edge(int from,int to)
{
	edge[++cnt].next=head[from];
	edge[cnt].to=to;
	head[from]=cnt;
}

template <class T>
void read(T &x)
{
	char c;int sign=1;
	while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48; x*=sign;
}
void DFS(int rt,int fa)
{
	w[rt]=w[fa]^a[rt];
	size[rt]=1;
	for(int i=head[rt];i;i=edge[i].next)
	{
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa) continue;
		DFS(v,rt);
		size[rt]+=size[v];
		if(size[son[rt]]<size[v]) son[rt]=v;
	}
}
int ask(int rt,int x)
{
	int now=root[rt],ret=0;
	for(int i=temp;i>=0;--i)
	{
		int c=(x>>i & 1);
		if(nxt[now][!c])
		{
			ret+=(1<<i);
			now=nxt[now][!c];
		}
		else now=nxt[now][c];
	}
	return ret;
}
void ins(int rt,int x)
{
	if(!root[rt]) root[rt]=++ndsum;
	int now=root[rt];
	for(int i=temp;i>=0;--i)
	{
		int c=(x>>i & 1);
		if(!nxt[now][c]) nxt[now][c]=++ndsum;
		now=nxt[now][c];
	}
}
void ii(int rt,int fa,int rot)
{
	ins(rot,w[rt]);
	for(int i=head[rt];i;i=edge[i].next)
	{
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa) continue;
		ii(v,rt,rot);
	}
}
void qq(int rt,int fa,int rot)
{
	ans[rot]=Max(ans[rot],ask(rot,w[rt]^a[rot]));
	for(int i=head[rt];i;i=edge[i].next)
	{
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa) continue;
		qq(v,rt,rot);
	}
}
void dfs(int rt,int fa)
{
	if(son[rt]) dfs(son[rt],rt),root[rt]=root[son[rt]];//先处理重儿子 
	ans[rt]=Max(ans[rt],ask(rt,w[rt]^a[rt]));
	ins(rt,w[rt]);
	for(int i=head[rt];i;i=edge[i].next)
	{
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa||v==son[rt]) continue;
		int now=ndsum;
		dfs(v,rt);//处理轻儿子 
		for(int j=now+1;j<=ndsum;++j) nxt[j][0]=nxt[j][1]=0;//还原 
		ndsum=now;
		qq(v,rt,rt);
		ii(v,rt,rt);
	}
}

int main()
{
//	freopen("irregular.in","r",stdin);
//	freopen("irregular.out","w",stdout);
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]),ans[i]=a[i];
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		int x,y;
		read(x);read(y);
		add_edge(x,y);
		add_edge(y,x);
	}
	DFS(1,0); dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}