学习笔记——网络流
本文仅仅记录做法或代码，至于标准证明等并不会出现（反正也是给自己看的qwq）
网络最大流
bool bfs(int s,int t)
{
for(int i=1;i<=n;++i) cur[i]=head[i];
memset(dep,0,sizeof(dep));
queue<int> q;
q.push(s); dep[s]=1;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(!dep[v]&&edge[i].flow)
{
dep[v]=dep[u]+1;
q.push(v);
if(v==t) return true;
}
}
}
return false;
}
int dfs(int s,int t,int u,int rest)
{
if(u==t) return rest;
int used=0;
for(int i=cur[u];i;i=edge[i].next)
{
cur[u]=i;
int v=edge[i].to;
if(dep[v]==dep[u]+1&&edge[i].flow)
{
int k=dfs(s,t,v,min(edge[i].flow,rest-used));
if(!k) dep[v]=0;
used+=k;
edge[i].flow-=k;
edge[i^1].flow+=k;
}
}
return used;
}
int dinic(int s,int t)
{
int maxflow=0,flow;
while(bfs(s,t)) while(flow=dfs(s,t,s,INF)) maxflow+=flow;
return maxflow;
}
最小费用最大流
仅仅只是将bfs变为spfa，但是将原来的多路增广又打回单路增广
bool Spfa(int s,int t)
{
memset(dis,100,sizeof(dis));
memset(flow,100,sizeof(flow));
memset(exist,0,sizeof(exist));
queue<int> q;
pre[t]=-1; exist[s]=1; dis[s]=0; q.push(s);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();exist[u]=0;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(edge[i].flow>0&&dis[v]>dis[u]+edge[i].dis)
{
dis[v]=dis[u]+edge[i].dis;
flow[v]=min(edge[i].flow,flow[u]);
pre[v]=u;
preedge[v]=i;
if(!exist[v])
{
exist[v]=1;
q.push(v);
}
}
}
}
return pre[t]!=-1;
}
void MCMF()
{
while(Spfa(s,t))
{
maxflow+=flow[t];
mincost+=flow[t]*dis[t];
int now=t;
while(now!=s)
{
edge[preedge[now]].flow-=flow[t];
edge[preedge[now]^1].flow+=flow[t];
now=pre[now];
}
}
}
无源汇上下界可行流
需要保证每个点都有入度和出度才可以回环往复保证流量守恒
先将每条边流量初始赋值为下界，然后问题就是有些点不遵从流量守恒
解决方案：
建立超级源汇点S,T，对于入流量大于出流量的点i，为了使入流量=出流量，我们将S给i连一条容量为（入-出）的边，从而在不改变原图流入量的同时通过引入外资增加流出量；对于入流量小于出流量的点i，同理用i连T一条容量为（出-入）的边（可以理解为通过这条边引导入流量增加，然后删掉这个不存在的边原图就守恒了）
连边（d=入-出）
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(d[i]>0) ad(S,i,d[i]);
if(d[i]<0) ad(i,T,-d[i]);
}
连完边后跑最大流即可，如果从S出发的边全部满流则为有可行流，原图中每条边的反边的剩余流量即为可行流
有源汇上下界可行流
除了源点和汇点流量不守恒外其余点依旧守恒，然而源点出流和汇点入流相等，所以将t和s用容量INF的边连起来之后就成无源汇上下界可行流
上下界最大流
用无源汇上下界可行流的方法连边后从S跑最大流，得到flow1（可行流），删去S，T和其所连边，从s再跑一次最大流得到flow2（剩余流量），答案为flow1+flow2
上下界最小流
用上面方法得到可行流flow1之后（就可以不要了），用t向s连一条INF的边（注意是小写），然后再跑一次最大流，之前连的边的反边即为答案
dinic(S,T);
ad(t,s,INF);
dinic(S,T);
cout<<edge[cnt].flow<<endl;
上下界最小费用流
连边方法同上下界最小流，将求最大流改为求最小费用最大流
答案为每条边的下界*单价+最小费用流
AHOI2014/JSOI2014支线剧情
求从1出发的多条路径覆盖所有边至少一次的最小代价
read(n);
s=1;t=n+1;S=n+2;T=n+3;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
read(m);
while(m--)
{
int x,t; read(x);read(t);
//单价为t
ins(i,x,1,INF,t);
ans+=t;//下界为1，所以只加t*1
}
}
for(int i=1;i<=n+1;++i)
{
if(d[i]>0) ad(S,i,d[i],0);
if(d[i]<0) ad(i,T,-d[i],0);
}
ad(t,s,INF,0);//连边跑费用流
ans+=MCMF(S,T);
cout<<ans<<endl;
