【数论学习笔记】质数

　　质数判定：

　　　　试除法：2到sqrt（n）全部试除。代码如下。

inline bool prime1(int n){
    if(n<2) return 0;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
        if(n%i==0) return 0;
    return 1;
}

　　质数筛法：

　　　　Eratosthenes筛法：所有质数的倍数全部为合数，每求到一个质数，统计倍数。代码如下。

int v[maxn];
inline void prime2(int n){
    memset(v,0,sizeof(v));
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(v[i]) continue;
        printf("%d ",i);
        for(int j=i;j<=n/i;j++) v[i*j]=1;
    }
}

　　　　线性筛法：

　　　　　　1. 2到 N 的每一个数若 v[i]=i 则为质数。

　　　　　　2.扫描不大于v[i]的每一个质数p，令v[i*p]=p，也就是记录最小的质因子。

　　　　　　代码如下。

int prime[maxn],v[maxn];
inline void prime3(int n){
    memset(v,0,sizeof(v));
    int m=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(v[i]==0){v[i]=i;prime[++m]=i;}
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break;
            v[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",prime[i]);
}

 　　质因数分解：

　　　　算数基本定理：任何一个大于1的正整数都能分解成有限个质数的乘积。

　　　　写作：N=p1^c1*p2^c2*....pm^cm。ci 为正整数，pi 为质数。

　　　　试除法：质数判定试除法+质数筛选欧拉筛。代码如下。

inline void divide(int n){
    int m=0;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0){//i为质数
            p[++m]=i,c[m]=0;
            while(n%i==0) n/=i,c[m]++;//除掉i
        }
    }
    if(n>1)//最后n是质数
        p[++m]=n,c[m]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d^%d\n",p[i],c[i]);
}