2016 Multi-University Training Contest 4 - 1005 (hdu5768)
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5768
题目大意：给你区间[L,R]，问你[L, R]中有多少个数字x满足x%7=0且x%p[i]≠a[i];
数据范围：1≤L<R≤10^18，0<a[i]<p[i]≤10^5，p[i],a[i]有n对，0≤n≤15；
解题思路：这道题赛场上想到了正解，但是因为一些细节处理上经验不足导致WA到结束（对拍都能过，大数处理的问题）
首先看到所求的条件像是求几个集合的并，而n范围恰好合乎容斥范围，对n个条件做容斥，其中处理交集的时候，即求同时满足几个条件的x时显然需要用中国剩余定理来计算。中国剩余定理求得一个合法解ret之后，所有解就是ret+k*M，M就是当前集合那些p[i]的乘积。这里写个函数算一下[L,R]之间%M=ret的有多少个就好了。
而对于特殊条件%7=0，起初想把该条件变为6个条件%7=1,%7=2...%7=6，这样加上给的n个条件一共21个，复杂度2^21*21加上乱七八糟常数，还有T组数据肯定会TLE，于是考虑直接当成条件%7≠0处理。在求其他条件与这个特殊条件的交的时候就用其他条件的交-其他条件与“%7=0”的交计算即可，这样O（2^16*16）很容易接受。
大概思路就是这样，其中需要注意的点：
1、最好写一个Get(L, R, P, X)函数表示[L,R]区间中有多少个数%P=X，这个函数要写稳。
2、由于这类问题数据范围十分的大，CRT中有一句话ret=(ret+tm*x*a[i])%M是需要写快速乘计算，不然会爆long long，惨死…
3、写快速乘的时候一定要记得幂的位置不能是负数！
1 #include <cstdio> 2 #include <cstdlib> 3 #include <cmath> 4 #include <cstring> 5 #include <algorithm> 6 using namespace std; 7 typedef long long LL; 8 9 const int MaxN = 30; 10 int T, n, cas; 11 LL ans, L, R; 12 LL P[MaxN + 5], A[MaxN + 5]; 13 14 void Init() 15 { 16 scanf("%d%lld%lld", &n, &L, &R); 17 for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld%lld", &P[i], &A[i]); 18 } 19 20 LL Get(LL L, LL R, LL p, LL x) 21 { 22 LL lm = L % p; 23 LL lc = L / p; 24 LL rm = R % p; 25 LL rc = R / p; 26 LL ans = rc - lc; 27 if (lm > x) ans--; 28 if (rm >= x) ans++; 29 return ans; 30 } 31 32 LL extend_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) 33 { 34 if (b == 0) { 35 x = 1; y = 0; 36 return a; 37 }else { 38 LL r = extend_gcd(b, a % b, y, x); 39 y -= x * (a / b); 40 return r; 41 } 42 } 43 44 LL qwr(LL x, LL y, LL MOD) 45 { 46 x = x % MOD; 47 LL ans = 0; 48 while (y != 0) { 49 if (y & 1) ans = (ans + x) % MOD; 50 y = y / 2LL; 51 x = (x + x) % MOD; 52 } 53 return ans; 54 } 55 56 LL CRT(LL a[], LL m[], int n) 57 { 58 LL M = 1; 59 for (int i = 1; i <= n; i++) M *= m[i]; 60 LL ret = 0; 61 for (int i = 1; i <= n; i++) { 62 LL x, y; 63 LL tm = M / m[i]; 64 extend_gcd(tm, m[i], x, y); 65 ret = (ret + qwr(qwr(x, tm, M), a[i], M)) % M; 66 } 67 return (ret + M) % M; 68 } 69 70 void Solve() 71 { 72 ans = 0; 73 for (int s = 1; s <= ((1 << (n + 1)) - 1); s++) { 74 LL p[MaxN + 5], a[MaxN + 5]; 75 if (s == 1) ans += (R - L + 1) - Get(L, R, 7, 0); 76 else { 77 int tot = 0; LL Fac = 1; 78 for (int i = 1; i <= n; i++) 79 if (s & (1 << i)) p[++tot] = P[i], a[tot] = A[i], Fac *= p[tot]; 80 if (s & 1) { 81 LL t = ((tot + 1) & 1) ? 1 : -1; 82 LL crt1 = CRT(a, p, tot); 83 a[++tot] = 0; p[tot] = 7; 84 LL crt2 = CRT(a, p, tot); 85 ans += t * (Get(L, R, Fac, crt1) - Get(L, R, Fac * (LL)7, crt2)); 86 } 87 else { 88 LL t = (tot & 1) ? 1 : -1; 89 LL crt = CRT(a, p, tot); 90 ans += t * Get(L, R, Fac, crt); 91 } 92 } 93 } 94 printf("Case #%d: %lld\n", ++cas, R - L + 1 - ans); 95 } 96 97 int main() 98 { 99 scanf("%d", &T); 100 for (int i = 1; i <= T; i++) { 101 Init(); 102 Solve(); 103 } 104 }
