KM算法 详解+模板
先说KM算法求二分图的最佳匹配思想,再详讲KM的实现。
【KM算法求二分图的最佳匹配思想】
对于具有二部划分( V1, V2 )的加权完全二分图,其中 V1= { x1, x2, x3, ... , xn }, V2= { y1, y2, y3, ... , yn },边< xi, yj >具有权值 Wi,j 。该带权二分图中一个总权值最大的完美匹配,称之为最佳匹配。
记 L(x) 表示结点 x 的标记量,如果对于二部图中的任何边<x,y>,都有 L(x)+ L(y)>= Wx,y,我们称 L 为二部图的可行顶标。
设 G(V,E) 为二部图, G'(V,E') 为二部图的子图。如果对于 G' 中的任何边<x,y> 满足, L(x)+ L(y)== Wx,y,我们称 G'(V,E') 为 G(V,E) 的等价子图。
定理一:设 L 是二部图 G 的可行顶标。若 L 等价子图 GL 有完美匹配 M,则 M 是 G 的最佳匹配。
证明:由于 GL 是 G 的等价子图,M 是 GL 的完美匹配,所以,M 也是 G 的完美匹配。以由于对于匹配 M 的每条边 e ,都有 e∈ E( GL ),而且 M 中每条边覆盖每个顶点正好一次,所以
W( M )= å W(e), e∈ M = å L(x), x∈ V
另一方面,对于 G 的任何完美匹配 M' 有
W( M' )= å W(e), e∈ M' <= å L(x), x∈ V
于是 W( M )>= W( M' ),即 M 是 G 的最优匹配。
由上述定理,我们可以通过来不断修改可行顶标,得到等价子图,从而求出最佳匹配。
就像匈牙利算法一样,我们依次为每一个顶点 i 寻找增广路径,如果寻找增广路径失败,我们就修改相应的可行顶标,来得到增广路径。
如图:
| 1 2 3 |
| 3 2 4 |
| 2 3 5 |
若要对这个完全二分图求最佳匹配
初始化:
Lx(1)= max{ y| w(1,y), 1<= y<= 3 }= max{ 1, 2, 3 }= 3, Ly(1)= 0
Lx(2)= max{ 3, 2, 4 }= 4, Ly(2)= 0
Lx(3)= max{ 2, 3, 5 }= 5, Ly(3)= 0;
我们建立等价子图( 满足 Lx(x)+ Ly(y)== W(x,y) ) 如下:
![km算法求二分图最佳匹配](http://blogimg.chinaunix.net/blog/upfile2/100412145048.jpg)
对于该图,运用匈牙利算法对 X 部顶点 1 求增广路径,得到一个匹配,如图( 红色代表匹配边 ):
![km算法求二分图最佳匹配](http://blogimg.chinaunix.net/blog/upfile2/100412145027.jpg)
对 X 部顶点 2 求增广路径失败,寻找增广路径的过程为 X 2-> Y 3-> X 1。我们把寻找增广路径失败的 DFS 的交错树中,在 X 部顶点集称之为 S, 在 Y 部的顶点集称之为 T。则 S= { 1, 2 },T= { 3 }。现在我们就通过修改顶标值来扩大等价子图,如何修改。
1) 我们寻找一个 d 值,使得 d= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S, y∉ T },因些,这时 d= min{
Lx(1)+Ly(1)-W(1,1), Lx(1)+Ly(2)-W(1,2), Lx(2)+Ly(1)-W(2,1), Lx(2)+Ly(2)-W(2,2) }=
min{ 3+0- 1, 3+0-2, 4+0-3, 4+0-2 }= min{ 2, 1, 1, 2 }= 1。
寻找最小的 d 是为了保证修改后仍满足性质对于边 <x,y> 有 Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)。
2) 然后对于顶点 x
1. 如果 x∈ S 则 Lx(x)= Lx(x)- d。
2. 如果 x∈ T 则 Ly(x)= Ly(x)+ d。
3. 其它情况保持不变。
如此修改后,我们发现对于边<x,y>,顶标 Lx(x)+ Ly(y) 的值为
1. Lx(x)- d+ Ly(y)+ d, x∈ S, y∈ T。
2. Lx(x)+ Ly(y), x∉ S, y∉ T。
3. Lx(x)- d+ Ly(y), x∈ S, y∉ T。
4. Lx(x)+ Ly(y)+ d, x∉ S, y∈ T。
易知,修改后对于任何边仍满足 Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y),并且第三种情况顶标值减少了 d,如此定会使等价子图扩大。
就上例而言: 修改后 Lx(1)= 2, Lx(2)= 3, Lx(3)= 5, Ly(1)= 0, Ly(1)= 0, Ly(2)= 0, Ly(3)= 1。
这时 Lx(2)+Ly(1)=3+0=3= W(2,1),在等价子图中增加了一条边,等价子图变为:
![km算法求二分图最佳匹配](http://blogimg.chinaunix.net/blog/upfile2/100412144857.jpg)
如此按以上方法,得到等价子图的完美匹配。
【KM算法及其具体过程】
(1)可行点标:每个点有一个标号,记lx[i]为X方点i的标号,ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W,则这一组点标是可行的。特别地,对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W),称为可行边;
(2)KM 算法的核心思想就是通过修改某些点的标号(但要满足点标始终是可行的),不断增加图中的可行边总数,直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止,此时这个 匹配一定是最佳的(因为由可行点标的的定义,图中的任意一个完全匹配,其边权总和均不大于所有点的标号之和,而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所 有点的标号之和,故这个匹配是最佳的)。一开始,求出每个点的初始标号:lx[i]=max{e.W|e.x=i}(即每个X方点的初始标号为与这个X方 点相关联的权值最大的边的权值),ly[j]=0(即每个Y方点的初始标号为0)。这个初始点标显然是可行的,并且,与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边;
(3)然后,从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同,只是要注意两点:一是只找可行边,二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来(可以用vst搞一下),以进行后面的修改;
(4) 增广的结果有两种:若成功(找到了增广轨),则该点增广完成,进入下一个点的增广。若失败(没有找到增广轨),则需要改变一些点的标号,使得图中可行边的 数量增加。方法为:将所有在增广轨中(就是在增广过程中遍历到)的X方点的标号全部减去一个常数d,所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d,则 对于图中的任意一条边(i, j, W)(i为X方点,j为Y方点):
<1>i和j都在增广轨中:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变,也就是这条边的可行性不变(原来是可行边则现在仍是,原来不是则现在仍不是);
<2>i在增广轨中而j不在:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d,也就是原来这条边不是可行边(否则j就会被遍历到了),而现在可能是;
<3>j在增广轨中而i不在:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d,也就是原来这条边不是可行边(若这条边是可行边,则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i),此时i就会被遍历到),现在仍不是;
<4>i和j都不在增广轨中:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变,也就是这条边的可行性不变。
这 样,在进行了这一步修改操作后,图中原来的可行边仍可行,而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少?显然,整个点标不能失去可行性,也 就是对于上述的第<2>类边,其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变,故取所有第<2>类边的 (lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性,另一方面,经过这一步后,图中至少会增加一条可行边。
(5)修改后,继续对这个X方点DFS增广,若还失败则继续修改,直到成功为止;
(6)以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶标,每次修改顶 标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack,每次开 始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slack[j]变成原值与 A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修 改顶标后,要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d。
【求二分图的最小匹配】
只需把权值取反,变为负的,再用KM算出最大权匹配,取反则为其最小权匹配。
另外计算 d 值的时候可以进行一些优化。
定义 slack(y)= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y),x∈ S, y∉ T }
这样能在寻找增广路径的时候就顺便将 slack 求出。
(以上为摘上网络)【KM算法及其具体过程】
(1)可行点标:每个点有一个标号,记lx[i]为X方点i的标号,ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W,则这一组点标是可行的。特别地,对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W),称为可行边;
(2)KM 算法的核心思想就是通过修改某些点的标号(但要满足点标始终是可行的),不断增加图中的可行边总数,直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止,此时这个 匹配一定是最佳的(因为由可行点标的的定义,图中的任意一个完全匹配,其边权总和均不大于所有点的标号之和,而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所 有点的标号之和,故这个匹配是最佳的)。一开始,求出每个点的初始标号:lx[i]=max{e.W|e.x=i}(即每个X方点的初始标号为与这个X方 点相关联的权值最大的边的权值),ly[j]=0(即每个Y方点的初始标号为0)。这个初始点标显然是可行的,并且,与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边;
(3)然后,从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同,只是要注意两点:一是只找可行边,二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来(可以用vst搞一下),以进行后面的修改;
(4) 增广的结果有两种:若成功(找到了增广轨),则该点增广完成,进入下一个点的增广。若失败(没有找到增广轨),则需要改变一些点的标号,使得图中可行边的 数量增加。方法为:将所有在增广轨中(就是在增广过程中遍历到)的X方点的标号全部减去一个常数d,所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d,则 对于图中的任意一条边(i, j, W)(i为X方点,j为Y方点):
<1>i和j都在增广轨中:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变,也就是这条边的可行性不变(原来是可行边则现在仍是,原来不是则现在仍不是);
<2>i在增广轨中而j不在:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d,也就是原来这条边不是可行边(否则j就会被遍历到了),而现在可能是;
<3>j在增广轨中而i不在:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d,也就是原来这条边不是可行边(若这条边是可行边,则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i),此时i就会被遍历到),现在仍不是;
<4>i和j都不在增广轨中:此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变,也就是这条边的可行性不变。
这 样,在进行了这一步修改操作后,图中原来的可行边仍可行,而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少?显然,整个点标不能失去可行性,也 就是对于上述的第<2>类边,其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变,故取所有第<2>类边的 (lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性,另一方面,经过这一步后,图中至少会增加一条可行边。
(5)修改后,继续对这个X方点DFS增广,若还失败则继续修改,直到成功为止;
(6)以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶标,每次修改顶 标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack,每次开 始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slack[j]变成原值与 A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修 改顶标后,要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d。
【求二分图的最小匹配】
只需把权值取反,变为负的,再用KM算出最大权匹配,取反则为其最小权匹配。
hdoj 2255 #include <stdio.h> #include <string.h> #define M 310 #define inf 0x3f3f3f3f int n,nx,ny; int link[M],lx[M],ly[M],slack[M]; //lx,ly为顶标,nx,ny分别为x点集y点集的个数 int visx[M],visy[M],w[M][M]; int DFS(int x) { visx[x] = 1; for (int y = 1;y <= ny;y ++) { if (visy[y]) continue; int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y]; if (t == 0) // { visy[y] = 1; if (link[y] == -1||DFS(link[y])) { link[y] = x; return 1; } } else if (slack[y] > t) //不在相等子图中slack 取最小的 slack[y] = t; } return 0; } int KM() { int i,j; memset (link,-1,sizeof(link)); memset (ly,0,sizeof(ly)); for (i = 1;i <= nx;i ++) //lx初始化为与它关联边中最大的 for (j = 1,lx[i] = -inf;j <= ny;j ++) if (w[i][j] > lx[i]) lx[i] = w[i][j]; for (int x = 1;x <= nx;x ++) { for (i = 1;i <= ny;i ++) slack[i] = inf; while (1) { memset (visx,0,sizeof(visx)); memset (visy,0,sizeof(visy)); if (DFS(x)) //若成功(找到了增广轨),则该点增广完成,进入下一个点的增广 break; //若失败(没有找到增广轨),则需要改变一些点的标号,使得图中可行边的数量增加。 //方法为:将所有在增广轨中(就是在增广过程中遍历到)的X方点的标号全部减去一个常数d, //所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d int d = inf; for (i = 1;i <= ny;i ++) if (!visy[i]&&d > slack[i]) d = slack[i]; for (i = 1;i <= nx;i ++) if (visx[i]) lx[i] -= d; for (i = 1;i <= ny;i ++) //修改顶标后,要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d if (visy[i]) ly[i] += d; else slack[i] -= d; } } int res = 0; for (i = 1;i <= ny;i ++) if (link[i] > -1) res += w[link[i]][i]; return res; } int main () { int i,j; while (scanf ("%d",&n)!=EOF) { nx = ny = n; // memset (w,0,sizeof(w)); for (i = 1;i <= n;i ++) for (j = 1;j <= n;j ++) scanf ("%d",&w[i][j]); int ans = KM(); printf ("%d\n",ans); } return 0; }