乘法逆元详解【费马小定理+扩展欧几里得算法】

原

乘法逆元详解【费马小定理+扩展欧几里得算法】

2018年08月05日 19:58:41 LZRcqbz 阅读数 2713

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 by-sa 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文链接： https://blog.csdn.net/qq_37656398/article/details/81434277

乘法逆元

何为乘法逆元？

对于两个数$a,pa,pa,p$p。

编程实现

费马小定理：

long long PowMod(long long a,int b) {
	long long ret=1;
	while(b) {
		if(b&1)ret=ret*a%Mod;
		a=a*a%Mod;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

     

     
1
2
3
4
5
6
7
8
9

程序内调用PowMod(a,Mod-2)即可。

扩展欧几里得算法：

long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) {
	if(a==0&&b==0)
		return -1ll;
	if(b==0)
	{
		x=1ll;
		y=0ll;
		return a;
	}
	long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}
long long mod_reverse(long long a,long long n) {
    long long x,y,d=extend_gcd(a,n,x,y);
    if(d==1) {
	    if(x%n<=0)return x%n+n;
		else return x%n;
	} else return -1ll;
}

     

     
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

递推计算阶乘的逆元：

f[0]=1;
for(int i=1;i<=N;i++)
	f[i]=f[i-1]*i%Mod;
inv[0]=1;
inv[N]=PowMod(f[N],Mod-2);
for(int i=N-1;i>0;i--)
	inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%Mod;

     

     
1
2
3
4
5
6
7

递推计算连续的数的逆元：

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
	inv[i]=(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;

     

     
1
2
3

                                </div>
            <link href="https://csdnimg.cn/release/phoenix/mdeditor/markdown_views-e44c3c0e64.css" rel="stylesheet">
                </div>
</article>