RMQ - 求区间最值

RMQ

RMQ算法，是一个快速求区间最值的离线算法，预处理时间复杂度O（n*log(n)），查询O(1)。

概念:RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。

预处理

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：A数列为3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
首先初始化F[i,0]=A[i]，F[1,0]代表从第一个数，长度为2⁰的最大值，即为3。同理F[1,1]=max{3,2}=3,F[1,2]=max{3, 2, 4, 5}=5。

推导状态转移方程
将F[i,j]平均分成两份（F[i,j]一定是偶数），从i到i+2^j-1-1为一段，i+2^j-1到i+2^j-1为一段。（长度都为2^j-1）
例如:当i=1，j=3时就是3,2,4,5和6,8,1,2，F[i,j]就是这两段中各自的最大值。
由此状态转移方程为：F[i,j]=max{F[i,j-1],F[i+2^j-1,j-1]}。

代码如下:

void RMQ(int num)//num是数量
{
    for(int i=1; i<=num; i++)
    {
        dp_min[i][0]=arr[i];
        dp_max[i][0]=arr[i];
    }
    for(int j=1; (1<<j)<=num; j++)
        for(int i=1; i+(1<<j)-1<=num; i++)
        {
            dp_max[i][j]=max(dp_max[i][j-1],dp_max[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            dp_min[i][j]=min(dp_min[i][j-1],dp_min[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
}
void query(int l,int r,int op) //op=1 查找最大值，op=0,查找最小值
{
    int k=log2(r-l+1);
    if(op)
        return max(dp_max[l][k],dp_max[r-(1<<k)+1][k]);
    else
        return min(dp_min[l][k],dp_min[r-(1<<k)+1][k]);
}