形式化语言与自动机理论第一课笔记

名词

合取：逻辑与
析取：逻辑或
合取式：所有子式都成立的式子
析取式：至少一个子式成立的式子

证明规则

\[\frac{H\vdash Q}{H,\ P\vdash Q},\ Mononicity \]

上面的条件范围更广，下面的条件范围更窄，广中任意都成立，所以窄中任意也成立。

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\[\frac{H\vdash Q,\ R,\ Q\vdash P}{R,\ H\vdash P},\ Cut \]

\(Q\) 为真， \(H\) 也为真 。

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\[H,\ P\vdash P,\ Hypothesis \]

条件成立，作为结论也自然成立。

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\[\frac{H\vdash P\ H\vdash \neg P}{H\vdash \perp},\ False\_Rule \]

反证法。要证结论不成立，只需要假设结论成立，然后证明条件矛盾即可。

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\[H,\ \perp\vdash P,\ False\_Law \]

存疑。

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\[\frac{H,\ P\vdash \perp}{H\vdash \neg P},\ Not\_Rule \]

要证 \(H\Rightarrow \neg P\) ，即证 \(H,\ P\) 均为真时，命题不成立。

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\[\frac{H,\ \neg Q\vdash P}{H,\ \neg P\vdash Q},\ Not\_Law \]

反证。假设结论不成立，推出条件矛盾。

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\[\frac{H\vdash P\ H\vdash Q}{H\vdash P\bigwedge Q},\ And\_Rule \]

要证 \(H\Rightarrow P\bigwedge Q\) ，只需要证 \(H\Rightarrow P\) 和 \(H\Rightarrow Q\) 都成立。

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\[\frac{H,\ P\vdash Q}{H\bigwedge P\vdash Q},\ And\_Law \]

要证 \(H\bigwedge P\Rightarrow Q\) ，即证 \(H,\ P\) 都为真时， \(Q\) 为真。

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\[\frac{H,\ \neg P\vdash Q}{H\vdash P\bigvee Q},\ Or\_Rule \]

要证 \(H\Rightarrow P\bigvee Q\) ，即证 \(H,\ \neg P\) 均为真时， \(Q\) 也为真。

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\[\frac{P\vdash H\ Q\vdash H}{P\bigvee Q\vdash H},\ Or\_Law \]

要证 \(P\bigvee Q\Rightarrow H\) ，即证 \(P\Rightarrow H\) 和 \(Q\Rightarrow H\) 均为真。

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\[\frac{H,\ P\vdash Q}{H\vdash P\rightarrow Q},\ Implication\_Rule \]

要证 \(H\Rightarrow P\rightarrow Q\) ，即证 \(H,\ P\) 都为真时， \(Q\) 为真。

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\[\frac{H,\ P,\ Q\vdash R}{H,\ P\Rightarrow Q\vdash R},\ Implication\_Law \]

要证 \(H,\ P\Rightarrow Q\Rightarrow R\) ，即证 \(H,\ P,\ Q\) 都为真时， \(R\) 为真。