二维坐标系中的点积、叉积、多边形面积

二维坐标系中的点积、叉积、多边形面积

点积定义

设有向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) ，定义点积 \(\vec{a}\cdot \vec{b}\) 为 实数 ，其值为 向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上投影的长度乘以向量 \(\vec{b}\) 的模

点积性质

满足交换律，结合律

点积计算

直接计算

\[|\vec{a}\cdot \vec{b}| = |\vec{a}| \times |\vec{b}|\times cos<\vec{a},\ \vec{b}> \]

坐标系中计算

放在坐标系中，设 \(\vec{a} = (x_{1},\ y_{1}),\ \vec{b} = (x_{2},\ y_{2})\)

那么 \(\vec{a}\cdot \vec{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}\)

叉积定义

设有向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) ，定义叉积 \(\vec{a}\times \vec{b}\) 为新的 向量。
其模长为 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所围成的平行四边形面积。
方向与 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 均垂直。
若 \(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 逆时针方向，即呈现左手系，那么 \(\vec{a}\times \vec{b}\) 为正；反之为负。

叉积性质

叉积模即为平行四边形面积，所以在直角坐标系中求一个三角形的面积可以用叉积来计算，即

\[S_{OAB} = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| \]

叉积不满足交换律，因为方向会发生变化，即

\[\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} \]

二维叉积模的计算

直接计算

\[|\vec{a}\times \vec{b}| = |\vec{a}| \times |\vec{b}|\times sin<\vec{a},\ \vec{b}> \]

坐标系中计算

放在坐标系中，设 \(\vec{a} = (x_{1},\ y_{1}),\ \vec{b} = (x_{2},\ y_{2})\)

经过推导得到 \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|\)

去掉绝对值便得到 有向面积

若值为正，说明 \(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 逆时针方向；若值为负，说明说明 \(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 顺时针方向。

多边形面积计算

基本思想是把多边形划分成多个三角形，然后叉积计算面积。这个思想对于凹凸多边形都成立。

记多边形顶点逆时针排列为 \(P_{0},\ P_{1},\ ..,\ P_{n - 1}\)

为了方便计算，选取坐标原点 \(O(0,\ 0)\) 作为源点，逐一计算 \(\vec{OP_{i}}\times \vec{OP_{i + 1}}\) ，累计求和即可。

公式为

\[\sum_{i = 0}^{n - 1}(x_{i}y_{i + 1} - x_{i + 1}y_{i}) \]

当 \(i = n - 1\) 时，下一个坐标要回到 \((x_{0}, y_{0})\) ，这里可以特判，也可以取模运算。

复杂度 \(O_{n}\)

由于叉积面积的有向性，多余的面积会被抵消掉，所以这个算法是正确的，此处省略严格证明。

\(code\)

int n;
struct Cor
{
    int x, y;
}cor[105];

inline int read()
{
    char c = getchar();
    int ans = 0, f = 1;
    while(!isdigit(c)) {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(isdigit(c)) {ans = ans * 10 + c - '0'; c = getchar();}
    return ans * f;
}

int main()
{
    while(scanf("%d", &n) && n) {
        for(int i = 0; i < n; ++i)
            cor[i].x = read(), cor[i].y = read();
        double ans = 0.0;
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            ans += 0.5 * (cor[i % n].x * cor[(i + 1) % n].y - cor[i % n].y * cor[(i + 1) % n].x);
        }
        printf("%.1f\n", ans);
    }
    return 0;
}