最长递增子序列_python_算法与数据结构

     周末了，实验室的网速还是不给力啊，不知道doctors都在干啥，，，最近都在做算法作业，昨天晚上看了一部电影《将爱进行到底》，刚打开电影没多久就听到了很熟悉的旋律，让我很是惊讶，这竟然就是电视版的那首主旋律，十几年过去了，徐静蕾从初出茅庐到现在成为了老徐，我也从黄毛丫头到现在成为了男子汉，浮生若梦，岁月流沙。将爱电影的主题曲《因为爱情》很好听，王菲的声音空灵虚无缥缈，与陈奕迅共同演绎了一首温馨甜蜜的歌曲。

    言归正传，到算法上来了，最长递增子序列问题在这里不再啰嗦了，不懂的自己baidu去，不过我更喜欢google，呵呵。个人的爱好吧。

    最长递增子序列有两种解法，一种是借助前面的LCS算法，另外是本文要写的另外一种方法。

   1.LCS

      LCS算法比较的是任意两个序列的最长公共子序列，在最长递增子序列中，我们将原序列A首先升序排列得到B，然后将A和B求LCS就可以达到目的。在这里不再赘述，有关LCS算法，可以参见前面的文章。

   2.网上流传两种版本的最长递增子序列算法，http://hi.baidu.com/newmyl/blog/item/12f15e97ac88b06854fb965d.html连接对这个算法进行了深入的分析。我个人比较赞同http://www.felix021.com/blog/read.php?1587&guid=5的分析（http://blog.csdn.net/fisher_jiang/archive/2008/05/13/2442348.aspx也对这个算法进行了分析但是本人觉得比较晦涩难懂，C++STL我不习惯，高手自己揣摩吧~~~~），摘录如下：

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

个人觉得他的分析十分清晰明了，真正能让我们知道动态规划算法的过程。按照这种思路，我实现了Python版本的LIS算法：

#最长单调递增子序列
def LIS(B, d, n):
    left = right = mid =  len = 1
    B[0] = d[0]   # //从0开始计数
    for i in range(1, n):
        left = 0
        right = len
        while(left <= right):
            mid = (left + right) // 2
            if(B[mid] < d[i]):
                left = mid + 1 #二分查找d[i]的插入位置
            else:
                right = mid - 1
        B[left] = d[i] #插入
        if(left > len) :
            len = len +1 #更新length
    return len

if '__name__ = __main__' :
    d = [2 , 1 , 5 , 3 , 6,  4,  8,  9,  7]  
    B=[0]*len(d)  #初始化B数组
    print(LIS(B, d, len(d)))

 

输出结果：

Python 3.2 (r32:88445, Feb 20 2011, 21:29:02) [MSC v.1500 32 bit (Intel)] on CHENX, Threaded
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