快速幂求逆元 费马小定理

董晓算法：G13 同余式 乘法逆元 费马小定理（通俗易懂）

[AcWing876] 快速幂求逆元

876. 快速幂求逆元 - AcWing题库

题目描述

给定 $n$ 组 $a_i,p_i$，其中 $p_i$ 是质数，求 $a_i$ 模 $p_i$ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 $0\sim p-1$ 之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数 $b，m$ 互质，并且对于任意的整数 $a$，如果满足 $b|a$，则存在一个整数 $x$，使得 $\frac{a}{b}\equiv a\times x(\mathrm{mod}m)$，则称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元，记为 $b^{-1}(\mathrm{mod}m)$。

$b$ 存在乘法逆元的充要条件是 $b$ 与模数 $m$ 互质。当模数 $m$ 为质数时，$b^{m-2}$ 即为 $b$ 的乘法逆元。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个数组 $a_i,p_i$，数据保证 $p_i$ 是质数。

输出格式

输出共 $n$ 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 $a_i$ 模 $p_i$ 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围

$1\le n\le {10}^5$,
$1\le a_i,p_i\le 2\times {10}^9$

输入样例：

3
4 3
8 5
6 3

输出样例：

1
2
impossible

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算法

费马小定理

设 $n$ 是质数，$a$ 是正整数且与 $n$ 互质，有 $a^{n-1}\equiv 1(modn)$。

则 $a^{n-2}modn$ 就是 $a$ 模 $n$ 的逆。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
 
ll fastPow(int a, int b, int p)
{
    auto res = 1ll;
    while (b){
        if (b & 1) res = res * 1ll * a % p;
        a = a * 1ll * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
 
int main()
{
    int n; cin >> n;
    while (n--){
        int a, p; cin >> a >> p;
        if (a % p) cout << fastPow(a, p - 2, p) << endl;
        else cout << "impossible" << endl;
    }
 
    return 0;
}