线性丢番图方程 裴蜀定理 扩展欧几里得算法

二元线性丢番图方程

方程 $ax+by=c$ 称为二元线性丢番图方程，其中 $a,b,c$ 为常量，$x,y$ 为变量，问方程是否有整数解。

该方程实际上是二维平面上的一条直线，无固定解，所以丢番图方程又称为不定方程。

在数论中，我们记 $(a,b)$ 为 $a$ 和 $b$ 的最大公约数，即 $gcd(a,b)$ 的简写。

那么，在讨论不定方程是否有整数解上，我们可得到以下定理。

裴蜀定理

如果 $a,b\in N$ ，则有整数 $x,y$ 使 $ax+by=(a,b)$ 。

这个等式称为裴蜀等式。

推论

1. 如果 $a,b\in N$ ，且 $(a,b)=1$ ，当且仅当 $\mathrm{\exists }x,y\in N$ ，使 $ax+by=1$ 。
2. 如果 $a,b\in N$ ，则有则有整数 $x,y,n$ 使 $ax+by=(a,b)\times n$ 。

证明

换个理解方式：对 $\mathrm{\forall }x,y$ ，$d=ax+by$ ，$d$ 一定是 $(a,b)$ 的整数倍；其中最小的 $d$ 就是 $(a,b)$ 。

$a,b$ 互质， 则 $d=(a,b)=1$ ，所以 $ax+by=1$ 。

那么，如果 $d$ 不是 $(a,b)$ 的整数倍，不定方程一定没有整数解。

扩展欧几里得算法

问题1

求 $ax+by=(a,b)$ 的一组整数解。

算法

当 $b=0$ 时，$ax+by=a$ ，故而 $x=1,y=0$ 。

当 $b\ne 0$ 时，

由欧几里得算法，$(a,b)=(b,a\mathrm{\%}b)$ 。

由裴蜀定理，

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (a,b)& =ax+by\text{(2)}& (b,a\mathrm{\%}b)& =b{x}_1+(a\mathrm{\%}b)y_1\text{(3)}& & =b{x}_1+(a-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor \times b)y_1\text{(4)}& & =a{y}_1+b(x_1-{\displaystyle \frac{a}{b}}{y}_1)\end{array}$$

所以 $x=y_1,y=x_1-\frac{a}{b}{y}_1$。

利用递归，先求出下一层的 $x_1,y_1$。

再回代上一层，回代求特解 $x_0,y_0$。

tips

实际上，就是等式两边同时除以 $(a,b)$ ，得到 $cx+dy=1$ 。

其中，$c={\displaystyle \frac{a}{(a,b)}},d={\displaystyle \frac{b}{(a,b)}}$ ，可以直接写出通解 $x=x_0+dn,y=y_0-cn$ 。

构造通解

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+{\displaystyle \frac{b}{(a,b)}}\times k\\ y=y_0-{\displaystyle \frac{a}{(a,b)}}\times k\end{array}$$

问题2

求 $ax+by=c$ 的一组整数解。

算法

当 $(a,b)\mid c$ ，则有整数解。

先用扩展欧几里得算法求 $ax+by=(a,b)$ 的解。

再乘以 ${\displaystyle \frac{c}{(a,b)}}$ ，即得到原方程的特解 $x_0,y_0$。（原理就是上面tips的逆运用）

当 $(a,b)\nmid c$ ，则无整数解。

[AcWing877] 扩展欧几里得算法

题目描述

给定 $n$ 对正整数 $a_i,b_i$，对于每对数，求出一组 $x_i,y_i$，使其满足 $a_i\times x_i+b_i\times y_i=gcd(a_i,b_i)$。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $a_i,b_i$。

输出格式

输出共 $n$ 行，对于每组 $a_i,b_i$，求出一组满足条件的 $x_i,y_i$，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 $x_i,y_i$ 均可。

数据范围

$1\le n\le {10}^5$,
$1\le a_i,b_i\le 2\times {10}^9$

输入样例：

2
4 6
8 18

输出样例：

-1 1
-2 1

---

算法

这里就用 $a=4,b=6$ 来手推扩欧算法。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
 
ll exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int x1, y1, gcd;
    gcd = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return gcd;
}
 
int main()
{
    int n; cin >> n;
    while (n--){
        int a, b, x, y;
        cin >> a >> b;
        int gcd = exgcd(a,b,x,y);
        cout << x << " " << y << endl; 
    }
    return 0;
}