数据结构实验--图的三种算法的同步演示
一、课程设计题目与要求
【基本要求】
- 1）基于图一构造图（权值可以自行设计添加）；
- 2）分别使用深度优先遍历(DFS)、Prim、Dijkstra算法从任意用户输入的顶点开始对图进行遍历、求MST（最小生成树）及最短路径；
- 3）三个算法同时动态显示构造过程；
- 4）每一步都要求显示/打印所有试探的路径(见图二）；
【扩展要求】
- 1）务必掌握单步调试；
- 2）鼓励使用MFC或QT进行可视化；
- 3）使用命令行程序时可考虑使用清屏(命令cls)后重新绘图进行动画演示；
二、需求分析
图是一种常见的结构，应用非常广泛，对其操作也多种多样，其中最常用的三类操作分别为遍历、求最小生成树、求两点之间最短路径 。本程序分别用DFS、Prim、Dijkstra三种算法实现上述功能。
- DFS是深度优先搜索，特征是沿着一条路径走到头，然后再回溯。
- Prim算法是在不断的把节点加入最小生成树的过程中 添加边，从而生成最小生成树
- Dijkstra算法是不断的求起点到每个顶点的最短路径。
三、设计
3.1 设计思想
（1）数据结构设计
本程序主要采用邻接矩阵作为图的存储结构。算法中的顶点集合用数组存储。
（2）算法设计
三种算法：
DFS:
设置Visited[]保存是否被标记，stack s 用来保存遍历的序列
算法主体为：
- 1.当前位置Loc进栈，输出栈顶，标记Loc位置
- 2.找到与当前位置有连接的j，且j位置未标记，递归，把j作为Loc传给下一次的操作，直到所有节点均被访问为止
Prim:
设置Visited[]保存是否被标记，x[i][j]保存最短路径上的边，x[i][j]==1 表示边（i，j）在最短路径上。
算法主体为：
- 找到这样的两个顶点 即 i位置已经被访问 且j位置未被访问 ，符合条件的 i只有一个而j可以不止一个，
- 找到path[i][j]的权值最小的一个，visited[j]即对j位置访问，x[i][j]=1 即把边（i，j）纳入到最短路径中。
- 重复以上步骤直到Visited[]的值全为1为止。
Dijkstra:
设置Visited[]保存是否被标记，Dis[]保存用户起点到下标号的节点路径的长度，Father[]保存最短路径上的前一个节点。
算法主体有三步：
- 1更新：找到这样的两个顶点 即 i位置已经被访问 且j位置未被访问 且ij有连接，把(0,i)+（i，j）和(0,j)中的较小者赋给j，并且Father[j] = i即i作为j的前驱节点。
- 2访问：每轮在更新Dis后 判断最小未被标记的顶点 对其访问（vis = 1;）
- 重复1、2 步骤直到Visited[]的值全为1为止。
3.2 详细设计
“无向图”CC_Group类的构建：
数据成员有：
int C_Adj[MaxSize][MaxSize];
int C_Visited[MaxSize];
int C_PointNum;//顶点数
int C_ArcNum;//边数
C_Adj数组用来存储边的信息，C_Adj[i][j]不为零表示存在边（i，j）且这条边上的权值为C_Adj[i][j]的值。
C_Visited[i]用来存储节点是否被访问标记，为0则未标记，为1则已经被标记。默认全部为零。
C_Point表示当前图中的节点数
C_ArcNum表示当前图中的边数
函数成员有：
CC_Graph(int* PointNum, int* arcNum, int* C_Loc);
void DFS(stack s, int Loc);//深度优先遍历
构造函数的三个参数分别表示：点的数量，边的数量，程序开始的节点位置，在构造函数中会提示输入各种信息以完成对图的创建。
DFS即深度优先遍历，需要的参数是一个int类型的空栈和程序开始位置，采用递归的方法完成对图的深度优先遍历输出。
最小生成树Prim算法的实现：
在函数中定义Vis[i]保存i号节点是否被标记，x[i][j]保存最短路径上的边，x[i][j]不等1表示边（i，j）在最短路径上，数值表示被标记的次序，初始化均为0。vis[Loc] 赋值为1；定义Order来表示访问次序，isALL作为主循环的循环条件，在所有节点均被访问后被赋值为1，否则为0.
在主循环中实现以下算法：找到这样的两个顶点 即 i位置已经被访问 且j位置未被访问 ，符合条件的 i只有一个而j可以不止一个，找到path[i][j]的权值最小的一个，visited[j]即对j位置访问，x[i][j]=Order 即把边（i，j）纳入到最短路径中，并确定其被标记的次序，然后Order加一。
输出最小生成树有两种方法：
- 1.调用CoutMat(x, n)即自定义的用来输出二维数组的算法，更加直观的表示出哪些边在最小生成树中，以及其在其中的次序。
- 2.输出语句，首先定义tim=0；第一重循环判断条件tim不等于Order，再来两层循环对x数组做遍历，判断如果[i][j] == tim就输出（j，i）并且 tim++;
最短路径Dijkstra算法的实现：
设置Visited[]保存是否被标记，Dis[]保存用户起点到下标号的节点路径的长度，Father[]保存最短路径上的前一个节点。其他类似于Prim算法。
算法主体有三步：
1.更新：找到这样的两个顶点 即 i位置已经被访问 且j位置未被访问 且ij有连接，把(0,i)+（i，j）和(0,j)中的较小者赋给j，并且Father[j] = i即i作为j的前驱节点。 2.访问：每轮在更新Dis后 判断最小未被标记的顶点 对其访问（vis = 1;）
3.重复1、2 步骤直到Visited[]的值全为1为止。
然后是输出语句：
1.输出用户输入位置到其他各个顶点的最短路径长度：
直接一个循环输出Dis数组的前n位即可
2.输出用户输入位置到其他各个顶点的最短路径对应的路线：
首先设置i从0到n的循环每次都将i赋值给VVV作为终点，v是用户输入的起点位置。
while (Father[vvv] != -1 && Father[vvv] != v)
{
cout << Father[vvv] << "<--";
vvv = Father[vvv];
}
根据Father数组内存的节点的前驱关系输出路线。
五、用户手册：
打开程序后自动提示输入图的顶点数和边数，输入后敲回车会再次提醒输入边的信息（格式为：端点 端点 权值）一组数据内部用空格分隔开，组与组之间用回车区分，代码最后给出了几组测试数据可以直接用于测试。 信息输入完成后，程序会再次提醒输入算法开始的位置，位置应该小于顶点数减一，正确输入后系统直接清屏后显示计算结果.
最先输出的是图的邻接矩阵表示，然后就是深度优先遍历的结果，格式为（点->边->点->）,然后是Prim算法输出的最小生成树，依次输出的是最小生成树上的几个边。最后是Dijkstra输出最短路径，首先输出的是指定起点到各顶点的最短路径长度，然后输出每个最短路径对应的路线。
六、代码实现：
代码仅供学习参考，严禁抄袭！！！
#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;
const int MaxSize = 100;
const int MaxNum = 9999;
class CC_Graph {
public:
int C_Adj[MaxSize][MaxSize], C_Visited[MaxSize];
int C_PointNum;//顶点数
int C_ArcNum;//边数
CC_Graph() {};
CC_Graph(int n, int e) {};
CC_Graph(int* PointNum, int* arcNum, int* C_Loc);
void DFS(stack<int> s, int Loc);//深度优先遍历
};
CC_Graph::CC_Graph(int* PointNum, int* arcNum, int* C_Loc)
{
cout << "输入顶点数和边数：" << endl;
cin >> *PointNum >> *arcNum;
C_PointNum = *PointNum;//顶点数
C_ArcNum = *arcNum;//边数
for (int i = 0; i < C_PointNum; i++)
for (int j = 0; j < C_PointNum; j++)
C_Adj[i][j] = 0;//权值为零则i与j无连接
for (int i = 0; i < C_PointNum; i++)
C_Visited[i] = 0;//默认为零表示i未访问过
int v1, v2, Power;
cout << "输入边的信息(端点 端点 权值)：" << endl;
for (int i = 0; i < C_ArcNum; i++) {
cin >> v1 >> v2 >> Power;
C_Adj[v1][v2] = Power;//power不为零，表示v1、v2有连接且权值为power
C_Adj[v2][v1] = Power;//无向图中（v1，v2）与（v2，v1）表示的是同一条边
}
cout << "输入程序开始的位置：" << endl;
cin >> *C_Loc;
while (*C_Loc >= *PointNum) {
cout << "输入有误 请重新输入：" << endl;
system("pause");
cin >> *C_Loc;
}
}
void CC_Graph::DFS(stack<int> s, int Loc) {
s.push(Loc);
cout << s.top() ;
C_Visited[Loc] = 1;
for (int j = 0; j < C_PointNum; j++) {
if (C_Adj[Loc][j] != 0 && C_Visited[j] == 0) {
cout << "—(" << Loc << "." << j << ")—>";
DFS(s, j);//递归
}
}
}
//用矩阵的方式输出一个二维数组，更加直观的表示元素间的关系
void CoutMat(int path[MaxSize][MaxSize], int n) {
cout << "\n ";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << i << "\t";
cout << "\n ";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << "|" << "\t";
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cout << "\n" << i << "--";
for (int j = 0; j < n; j++)
cout << path[i][j] << "\t";
}
cout << "\n ";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << "|" << "\t";
}
void CC_Prim(int path[MaxSize][MaxSize], int n, int Loc) //n是顶点个数
{
// int p[MaxSize];
// int n= sizeof(flag)/ sizeof(int);
// int Loc = Loc;//开始的元素
int vis[MaxSize];
for (int i = 0; i < n; i++)
vis[i] = 0;
int x[MaxSize][MaxSize];
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
x[i][j] = 0;//初始化为零
vis[Loc] = 1;
int Order=1;//表示边被访问的次序
int isAll = 0;
while (!isAll)
{
int u = 0, w = 0;
int tmp = MaxNum;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++)//找到path[v][0-MaxSize]最小的权值
{
if (vis[i] && !vis[j] && path[i][j] < tmp && path[i][j] != 0)
{
u = j;//保存序号
w = i;
tmp = path[i][j];//保存权值
// cout << w << "--" << u << endl;
}
}
}
vis[u] = 1;//把最小权值对应的 点 纳入到最小生成树
//单步输出 中间过程
// {system("cls");CoutMat(x, n);system("pause");}
x[u][w] = Order;
Order++;
// cout << w << "--" << u << endl;
//跳出循环条件 所有顶点全加入
isAll = 1;
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
if (vis[i] == 0)//有顶点未加入
isAll = 0;
}
}
//输出
cout << "用边表示：\n";
int tim=1;//次序
while(tim != Order){
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (x[i][j] == tim ){
cout << "—(" << j << "." << i << ")—>" ;
tim++;
}
}
}
// cout << "\n矩阵表示：";
// CoutMat(x, n);
}
void CC_Dijkstra(int path[MaxSize][MaxSize], int n, int Loc)//n是顶点个数
{
int v = Loc; //开始的元素
// stack<int> SS[MaxSize];//用来存储路径
int Father[MaxSize];//用来存储当前节点在最短路径上的 前驱
for (int i = 0; i < n; i++)
Father[i] = -1;
int vis[MaxSize];//visited 用来判断是否已经加入最短路径的判断
for (int i = 0; i < n; i++)
vis[i] = 0;
int Dis[MaxSize];//Distance 对每个i 用来保存v到i的最短路径长度
for (int i = 0; i < n; i++)
Dis[i] = MaxNum;
Dis[v] = 0;
vis[v] = 1;
Father[v] = 98765;
int isAll = 0;
while (!isAll) {
int u = 0, w = 0;
int tmp = MaxNum;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++)//找到path[v][0-MaxSize]最小的权值
{ //如果i位置已经被访问 且j位置未被访问 且ij有连接
if (vis[i] && !vis[j] && path[i][j] != 0)//把与之相连的点之间的权值全部 在作比较后赋给Dis
{
Dis[j] = min(path[i][j] + Dis[i], Dis[j]);//把(0,i)+（i，j）和(0,j)中的较小者赋给j
Father[j] = i;
}
//每轮在更新Dis后 判断最小未被标记的顶点 对其访问（vis = 1;）
int xxx = -1, kkk = MaxNum;
for (int k = 0; k < n; ++k)//最小未被标记的顶点做标记
{
if (vis[k] == 0 && Dis[k] < kkk) {
kkk = Dis[k];
xxx = k;
}
}
if (xxx != -1) {//xxx!=-1才存在未被标记的顶点，才对其访问
vis[xxx] = 1;
// Father[]
}
/*{
u = j;//保存序号
w = i;
tmp = path[i][j];//保存权值
}*/
}
}
// Dis[u] = min(tmp + Dis[w], Dis[u]);
// vis[u] = 1;//把最小权值对应的 点 标记已访问
//跳出循环条件 所有顶点全被标记
isAll = 1;
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
if (vis[i] == 0)//有顶点未被标记
isAll = 0;
}
}
//输出路径长度
// for (int i = 0; i < n; i++)
// cout << "路" << Loc << "->" << i << "长" << Dis[i] << " ";
cout << "各路径长度\n" << Loc << "->";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << i << "\t";
cout << "\n ";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << "|" << "\t";
cout << "\n ";
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << Dis[i] << "\t";
//以下利用Father[]输出路径的过程，可封装为递归的函数 从而正序输出
int v1 = v;//程序输入的起点
for (int i = 0; i < n ; ++i)
{
if (i==v)continue;//不输出自己到自己的路径
int vvv = i;//自定义的终点
cout << "\n" << v << "到" << vvv << "的最短路径对应的路线:\t";
cout << vvv << "<--";
while (Father[vvv] != -1 && Father[vvv] != v)
{
cout << Father[vvv] << "<--";
vvv = Father[vvv];
}
cout << v;
}
}
int main() {
int PointNum=0, arcNum=0, C_Loc=0;
CC_Graph G(&PointNum, &arcNum, &C_Loc);
system("cls");
cout << "构建出的图为：" << endl;
CoutMat(G.C_Adj, PointNum);
cout << "\n\n\n******深度优先遍历：******" << endl;
stack<int> s;
G.DFS(s, C_Loc);
cout << "\n\n\n******Prim算法：******" << endl;//输出的是最小生成树中包含的边
CC_Prim(G.C_Adj, PointNum, C_Loc);
cout << "\n\n\n******Dijkstra算法：******" << endl;//输出的是Loc端点到其他端点的最小距离，以及对应的路线
CC_Dijkstra(G.C_Adj, PointNum, C_Loc);
cout << "\n\n\n\n程序结束";
// DFS(0, G, s);
return 0;
}
七、测试数据及测试结果：
浙公网安备 33010602011771号