[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

求

$$\left(\sum_{k=0}^{n}f(k)\times x^k\times \binom{n}{k}\right)\bmod p$$

其中 $n$, $x$, $p$ 为给定的整数，$f(k)$ 为给定的一个 $m$ 次多项式

$f(k) = a_0 + a_1k + a_2k^2 + \cdots + a_mk^m$

$1\le n, x, p \le 10^9, 0\le a_i\le 10^9, 0\le m \le \min(n,1000)$。

看到这题肯定是推式子，把枚举量变成与 $n$ 无关的形式

看到什么 $x^k$ 想到斯特林数，但是下降幂搞他没有用

考虑问题的关键在于 $k$， 而多项式中还有与 $k$ 相关的东西，于是对他做文章

先把多项式展开

$$=\sum_{k=0}^{n}\sum_{i = 0}^{m}f_i \times k^i \times x^k\times \binom{n}{k}$$

$$=\sum_{i = 0}^{m}f_i \sum_{k=0}^{n}k^i \times \binom{n}{k} \times x^k$$

把 $k^i$ 转下降幂

$$=\sum_{i = 0}^{m}f_i \sum_{k=0}^{n}\sum_{j = 0}^{min(k, i)} \begin{Bmatrix}i\\ j\end{Bmatrix}k^{\underline{j}}\binom{n}{k}x^k$$

把组合数拆开消一下，再写成组合数得到

$$=\sum_{i = 0}^{m}f_i \sum_{k=0}^{n}\sum_{j = 0}^{min(k, i)} \begin{Bmatrix}i\\ j\end{Bmatrix}n^{\underline{j}}\binom{n - j}{k - j}x^k$$

变 $k$ 为枚举 $k - j$

$$=\sum_{i = 0}^{m}f_i \sum_{k=0}^{n-j}\sum_{j = 0}^{i} \begin{Bmatrix}i\\ j\end{Bmatrix}n^{\underline{j}}\binom{n - j}{k}x^{k + j}$$

$$=\sum_{i = 0}^{m}f_i\sum_{j = 0}^{i} \begin{Bmatrix}i\\ j\end{Bmatrix}n^{\underline{j}}x^j\sum_{k=0}^{n-j}\binom{n - j}{k}x^{k}$$

$$=\sum_{i = 0}^{m}f_i\sum_{j = 0}^{i} \begin{Bmatrix}i\\ j\end{Bmatrix}n^{\underline{j}}x^j(x + 1)^{n - j}$$

于是做完了