最小公倍佩尔数 题解

首先需要知道 $f$ 是个啥

这里直接给出结论，过程可以看大佬的博客

$f(n) = 2f(n - 1) + f(n - 2)$

$f(0)=0$

$f(1)=1$

这种类似 斐波那契数列的递推式有结论 $gcd(f(x), f(y)) = f(gcd(x, y))$ 通过辗转相减证明

那么一个集合的 $gcd$ 是好求的，所以考虑进行 $min-max$ 容斥

有

$lcm(S)=\prod_{T \subset S,T \ne \not\empty}gcd(T)^{(-1)^{|T| - 1}}$

那我们求的就是

$$\prod_{T \subset S,T \ne \not\empty}f(gcd(T))^{(-1)^{|T| - 1}}$$

$$= \prod_{d= 1}^{n}f(d)^{\sum_{T \subset S,T \ne \not\empty}[gcd(T) = d](-1)^{|T| - 1}}$$

现在只处理角标

$$\sum_{T \subset S,T \ne \not\empty}[gcd(T) = d](-1)^{|T| - 1}$$

$$= \sum_{T \subset S,T \ne \not\empty}\sum_{x|\frac{gcd(T)}{d}}\mu(x)(-1)^{|T| - 1}$$

$$= \sum_{T \subset S,T \ne \not\empty}\sum_{xd | gcd(T)}\mu(x)(-1)^{|T| - 1}$$

$$= \sum_{x= 1}^{\frac{n}{d}}\mu(x)\sum_{T \subset S`}(-1)^{|T| - 1}$$

其中 $s`$ 为 $s$ 中 $xd$ 的倍数除以 $xd$，即${1, 2, .. \frac{n}{xd}}$

$$\sum_{T \subset S`,T \ne \not\empty}(-1)^{|T| - 1}$$

$$=\sum_{i = 1}^{size}(-1)^{i + 1}$$

$$=-\sum_{i = 1}^{size}(-1)^i$$

$$= 1- \sum_{i = 0}^{size}(-1)^i$$

$$=1-[T = \empty]$$

那么带回去

$$\sum_{x= 1}^{\frac{n}{d}}\mu(x)\sum_{T \subset S`}(-1)^{|T| - 1}$$

因为 $dx <= n$ 所以$S`$非空

$$=\sum_{x= 1}^{\frac{n}{d}}\mu(x)$$

于是我们要求的变成

$$= \prod_{d= 1}^{n}f(d)^{\sum_{x= 1}^{\frac{n}{d}}\mu(x)}$$

考虑 $dx <= n$ 的都会产生贡献，我们枚举 $i = dx$，式子就是

$$= \prod_{i= 1}^{n}\prod_{d|i}f(\frac{i}{d})^{\mu(d)}$$