NOIP提高组模拟赛25

A. 神炎皇

有的时候，不能太相信自己的过去。。。。

这题不是很难，本来打表已经出了最终性质了，但是发现自己曾经交过这道题，于是手贱搞下来对拍一下，发现全挂了。。

输出一下发现好像原来的是错的，但是因为脑抽 ，太过相信自己，认为原来的是AC的。。

最后毅然决然交了过去的码，结果$WA0$。。。。。。。。。

不要耍小聪明！实践是检验真理的唯一标准！！！

通过打表可以发现规律，现在简单证明一下

枚举$gcd(a,b)=d$

则令$(a'+b')d|a'b'd^2$

即$(a'+b')|a'b'd$

因为$gcd(a',b')=1$

所以$a'\perp a'+b'$ 且$b'\perp a'+b'$

那么$(a'+b')\perp a'b'$

所以$(a'+b')|d$

又因为$(a'+b')d<=n$

所以$(a'+b')<=\sqrt n$

枚举$a'+b'=k$，那么合法的$d$，有$n/k^2$个

互质的$a',b'$有$\phi(k)$对（$a' \perp k$则$a' \perp k-a'$，令$b'=k-a'$）

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;
int phi[10000005],prime[10000005],cnt;
bool flag[10000005];
ll n;

int main(){
    scanf("%lld",&n);
    int m=sqrt(n);
    for(int i=2;i<=m;++i){
        if(!flag[i]){
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=m;++j){
            flag[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j])phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
            else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=2;i<=m;++i)
        ans+=1ll*phi[i]*(n/((ll)i*i));
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

B. 降雷皇

没啥说的，就是一个线段树优化DP

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005;
const int mod=123456789;
int r[maxn],type,b[maxn],n;
struct node{int mx,sum;node(){mx=sum=0;}};
struct tree{
    node t[maxn<<2|1];
    void push_up(int x){
        int ls=x<<1,rs=x<<1|1;
        t[x].mx=max(t[ls].mx,t[rs].mx);
        t[x].sum=0;
        if(t[ls].mx==t[x].mx)t[x].sum+=t[ls].sum;
        if(t[rs].mx==t[x].mx)t[x].sum+=t[rs].sum;
        t[x].sum%=mod;
    }
    void modify(int x,int l,int r,int pos,int mx,int sum){
        if(l==r){
            if(mx>t[x].mx)t[x].sum=sum;
            else t[x].sum=(sum+t[x].sum)%mod;
            t[x].mx=mx;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        if(pos<=mid)modify(x<<1,l,mid,pos,mx,sum);
        else modify(x<<1|1,mid+1,r,pos,mx,sum);
        push_up(x);
    }
    node query(int x,int l,int r,int L,int R){
        if(L<=l&&r<=R)return t[x];
        int mid=(l+r)>>1;
        node ansl,ansr;
        ansl.mx=ansr.mx=ansl.sum=ansr.sum=0;
        if(L<=mid)ansl=query(x<<1,l,mid,L,R);
        if(R>mid)ansr=query(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
        if(ansl.mx!=ansr.mx)return ansl.mx>=ansr.mx?ansl:ansr;
        ansl.sum=(ansl.sum+ansr.sum)%mod;
        return ansl;
    }
}T;

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&type);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&r[i]);
    if(type){
        T.modify(1,0,maxn-4,0,0,1);
        for(int i=1;i<=n;++i){
            node x=T.query(1,0,maxn-4,0,r[i]-1);
            T.modify(1,0,maxn-4,r[i],x.mx+1,x.sum);
        }
        node x=T.query(1,0,maxn-4,0,maxn-4);
        printf("%d\n%d\n",x.mx,x.sum);
    }else{
        memset(b,0x3f,sizeof(b));b[0]=0;
	    for(int i=1;i<=n;i++)b[lower_bound(b,b+n+1,r[i])-b]=r[i];
	    int ans=0;for(ans=1;ans<=n;++ans)if(b[ans+1]==b[n+1])break;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

C. 幻魔皇

$fib$的奇妙性质++

以下内容有不少借鉴于动动学长

这个$fib$树的性质

1. 每层点数为$fib$

2. 从第二层开始，黑点个数为$fib$

3. 从第三层开始，白点个数为$fib$

4. 对于每一个黑（白）点，如果它有一棵深度为k的子树，那么所有这些子树都是一样的。

为了方便，现在设

$w[i]$表示第$i$行白点的个数

$b[i]$表示第$i$行黑点的个数

$sw[i]$表示前$i$行白点个数

$sb[i]$表示前$i$行黑点个数

然后分两种情况

1. 两个白点的$lca$为白点

2. 两个白点的$lca$为黑点

对于第一种情况，可以发现其中一个白点就是$lca$

对于一棵根为白色的树，深度为$i$的白点数显然是$w[i+1]$

整棵树能够作为这样的树的根的节点一共有$sw[n-i]$个

那么$ans[i]+=sw[n-i]*w[i+1]$

对于第二种情况，考虑一棵根节点为黑色的树

枚举两侧点到根的距离$i,j$

（白色子节点的子树中的白点的距离为$i$，黑色子节点的子树中的白点的距离为$j$）

把黑点到白点的边断开，黑点看成白点，就可以看成两棵根为白色的树

也就是说，白色子节点中距离为$i$的白点有$w[i]$个，黑色根及黑色子节点中距离为$j$的白点有$w[j+1]$个

而这样的子树有$sb[n−max(i,j)]$个

所以$ans[i+j]+=sb[n-max(i,j)]*w[i]*w[j+1]$

那么对于这棵树，其对答案的贡献就是w[i]×w[j+1]
，而这样的子树的数量取决与i,j中更大的那一个，所以这样的子树有sb[n−max(i,j)]

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>

using namespace std;

const int mod=123456789;
int n,ans[10005];
int w[5005],b[5005],sw[5005],sb[5005];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    w[1]=w[3]=1;sw[1]=sw[2]=1;sw[3]=2;
    b[2]=b[3]=1;sb[2]=1;sb[3]=2;
    for(int i=4;i<=n;++i){
        w[i]=(w[i-1]+w[i-2])%mod;
        b[i]=(b[i-1]+b[i-2])%mod;
        sw[i]=(sw[i-1]+w[i])%mod;
        sb[i]=(sb[i-1]+b[i])%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)ans[i]=1ll*sw[n-i]*w[i+1]%mod;
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=1;j<=n;++j)
        ans[i+j]=(ans[i+j]+1ll*sb[n-max(i,j)]*w[i]%mod*w[j+1]%mod)%mod;
    for(int i=1;i<=n+n;++i)printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}