斜率优化DP

因为SB大佬觉得有用，于是我决定转载一下洛谷博客
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优化形如$f[i]=max/min(a[i]+b[j]+c[i]*d[j])$ $（ j < i ）$的DP方程，其中$a[i]$ $c[i]$为只关于i的函数，$b[j]$ $d[j]$为只关于b的函数，显然可以化成$f[i]=max/min(b[j]+c[i]*d[j])+a[i]$ $（ j < i ）$但发现由于存在$c[i]*d[j]$与i j都有关的项，所以不能用朴素的单调队列继续优化（废话）

斜率优化

对决策点j,k(j<K)

考虑什么情况j一定不如k（以min为例）

j不如k即

$b[j]+c[i]d[j]>b[k]+c[i]d[k]$

移项

$c[i] (d[j]-d[k])>b[k]-b[j]$

$c[i]>(b[k]-b[j])/(d[j]-d[k])$(可能会变号，取决于$d[]$的单调性)

由于$c[i]$单调递增（题设），可以得到如果当前j不如k，那么以后j也不会优于k，所以可以舍弃j，想到用单调队列进行实现

定义函数$slpoe(j,k)=(b[k]-b[j])/(d[j]-d[k])$

显然出队条件为$c[i]>slope(q[head],q[head+1])$(head < tail,head tail这里是闭区间，开区间+1即可)

如何维护入队时队列单调性？

发现，对于队列中相邻三项l,m,r，两个斜率$a=slope(l,m),b=slope(m,r)$，如果$a>b$因为出队条件$c[i]>slope(q[head],q[head+1])$那么l出队时，m必然出队$(c[i]>a>b)$ 所以单调队列的$slope$应该单调递增

所以x入队时

$while(head<tail $&&$slope(q[tail-1],q[tail])>slope(q[tail],x))$

(画画斜率可以发现维护了一个下凸包（也可能是上凸包）)

这样，就可以用单调队列配上$slope$愉快的砍掉复杂度上一个n

关于数形结合理解，由于本人太菜，顾不做详细叙述，看看大佬们的博客吧（逃）

优化后设队头为j

$f[j]=a[i]+b[j]+c[i]d[j]$

$-c[i]d[j]+f[i]=a[i]+b[j]$

可以看做一次函数解析式，-c[i]为斜率，当d[j]=0时，即为f[i]，所以直线在y轴上的截距就是所求，要取min，就让f[i]尽可能小，截距尽可能小，画图（本人不会）发现是个下凸包
（具体还是看大佬们的博客吧。。）

模板

P3628

P2120

P3195

不要少项！不要少项！不要少项！

f[i]的赋值可以直接用最初的式子，不用展开，推的式子写个slope就行（不要问我为啥要写这个）