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0.PTA得分截图

1.本周学习总结（0-5分）

1.1 总结树及串内容

字符串匹配是计算机的基本任务之一。

举例来说，有一个字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"，我想知道，里面是否包含另一个字符串"ABCDABD"？

许多算法可以完成这个任务，Knuth-Morris-Pratt算法（简称KMP）是最常用的之一。它以三个发明者命名，起头的那个K就是著名科学家Donald Knuth。

这种算法不太容易理解，网上有很多解释，但读起来都很费劲。直到读到Jake Boxer的文章，我才真正理解这种算法。下面，我用自己的语言，试图写一篇比较好懂的KMP算法解释。

二、图解KMP算法

1、

首先，字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一个字符与搜索词"ABCDABD"的第一个字符，进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。

2、

因为B与A不匹配，搜索词再往后移。

3、

就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。

4、

接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。

5、

直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。

6、

这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把"搜索位置"移到已经比较过的位置，重比一遍。

7、

一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

8、

怎么做到这一点呢？可以针对搜索词，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍，这里只要会用就可以了。

9、

已知空格与D不匹配时，前面六个字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的"部分匹配值"为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值

因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动4位。

10、

因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（"AB"），对应的"部分匹配值"为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。

11、

因为空格与A不匹配，继续后移一位。

12、

逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4位。

13、

逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了

三、部分匹配值

下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。

首先，要了解两个概念："前缀"和"后缀"。 "前缀"指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；"后缀"指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

"部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。以"ABCDABD"为例，

－　"A"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；

－　"AB"的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；

－　"ABC"的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；

－　"ABCD"的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；

－　"ABCDA"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为"A"，长度为1；

－　"ABCDAB"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为"AB"，长度为2；

－　"ABCDABD"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。

"部分匹配"的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，"ABCDAB"之中有两个"AB"，那么它的"部分匹配值"就是2（"AB"的长度）。搜索词移动的时候，第一个"AB"向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个"AB"的位置。

四、几点说明

1、可能有些人会有这样的疑问：

如果

已匹配的字符数 = 0

同时

对应的部分匹配值 = 0.

又

移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值 = 0 - 0 = 0。这个时候移动的位数为0，那不是永远无法移动？

解答：如果第一个字符就不匹配，搜索词直接比较下一个字符，不用考虑《部分匹配表》。

2、这个部分匹配表的值，相当于我们代码实现中的next数组的值。

3、我不给出代码实现了，希望大家能根据这个思路，不看别人的代码实现一遍，之后你也可以手写kmp字符匹配算法了。

- End -
二叉树的存储结构：
1. 顺序存储结构 :
  完全二叉树：按从上至下、从左到右顺序存储
n个结点的完全二叉树的结点父子关系：

非根结点（序号 i > 1）的父结点的序号是 i / 2;

结点（序号为 i ）的左孩子结点的序号是 2i，（若2 i <= n，否则没有左孩子）;

结点（序号为 i ）的右孩子结点的序号是 2i+1，（若2 i +1<= n，否则没有右孩子）;

但是一般不用该方式，空间浪费严重

线索二叉树原理
遍历二叉树的其实就是以一定规则将二叉树中的结点排列成一个线性序列，得到二叉树中结点的先序序列、中序序列或后序序列。这些线性序列中的每一个元素都有且仅有一个前驱结点和后继结点。

但是当我们希望得到二叉树中某一个结点的前驱或者后继结点时，普通的二叉树是无法直接得到的，只能通过遍历一次二叉树得到。每当涉及到求解前驱或者后继就需要将二叉树遍历一次，非常不方便。

于是是否能够改变原有的结构，将结点的前驱和后继的信息存储进来。

二叉树结构

观察二叉树的结构，我们发现指针域并没有充分的利用，有很多“NULL”，也就是存在很多空指针。

对于一个有n个结点的二叉链表，每个节点都有指向左右孩子的两个指针域，一共有2n个指针域。而n个结点的二叉树又有n-1条分支线数(除了头结点，每一条分支都指向一个结点)，也就是存在2n-(n-1)=n+1个空指针域。这些指针域只是白白的浪费空间。因此, 可以用空链域来存放结点的前驱和后继。线索二叉树就是利用n+1个空链域来存放结点的前驱和后继结点的信息。

线索二叉树

如图以中序二叉树为例，我们可以把这颗二叉树中所有空指针域的lchild，改为指向当前结点的前驱（灰色箭头），把空指针域中的rchild，改为指向结点的后继（绿色箭头）。我们把指向前驱和后继的指针叫做线索，加上线索的二叉树就称之为线索二叉树。

线索二叉树结点结构
如果只是在原二叉树的基础上利用空结点，那么就存在着这么一个问题：我们如何知道某一结点的lchild是指向他的左孩子还是指向前驱结点？rchild是指向右孩子还是后继结点？显然我们要对他的指向增设标志来加以区分。

因此，我们在每一个结点都增设两个标志域LTag和RTag，它们只存放0或1的布尔型变量，占用的空间很小。于是结点的结构如图所示。

结点结构

其中：

LTag为0是指向该结点的左孩子，为1时指向该结点的前驱

RTag为0是指向该结点的右孩子，为1时指向该结点的后继
定义哈夫曼树之前先说明几个与哈夫曼树有关的概念：

路径：树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。

路径长度：路径上的分枝数目称作路径长度。

树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和。

结点的带权路径长度：在一棵树中，如果其结点上附带有一个权值，通常把该结点的路径长度与该结点上的权值